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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 8e

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

f x = 1 2 x - 1

Passo 1

Vamos calcular a derivada pela definição, vamos lembrar a fórmula:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Pronto, agora vamos aplicar x + ∆ x na função:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 2 x + ∆ x - 1 - 1 2 x - 1   ∆ x

Passo 2

Agora vamos destrinchar essa expressão, vamos lá:

lim ∆ x → 0 ⁡ 1 2 x + ∆ x - 1 - 1 2 x - 1   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 1 2 x + ∆ x - 1 - 1 2 x - 1 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x - 1 - 2 x + ∆ x - 1 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x - 1 - 2 x + ∆ x - 1 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 ⋅ 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x - 1 - 2 x + ∆ x - 1 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x - 1 - 2 x - 2 ∆ x + 1 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 ∆ x 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 ⋅ 1 ∆ x

Pronto, destrinchamos o máximo que deu, agora é só cortar os ∆ x do numerador com o do denominador e aplicar o limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 ∆ x 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 ⋅ 1 ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ - 2 2 x + ∆ x - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x + ∆ x - 1 =

= - 2 2 x + 0 - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x + 0 - 1 =

= - 2 2 x - 1 2 x - 1 2 x - 1 + 2 x - 1 = - 2 2 x - 1 2 2 x - 1 = - 1 2 x - 1 2 x - 1

Tudo certo, achamos que a derivada de f x = 1 2 x - 1 é f ' x = - 1 2 x - 1 2 x - 1 .

Resposta

f ' x = - 1 2 x - 1 2 x - 1

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