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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 8b

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

f x = 2 x 2 - x - 1

Passo 1

Vamos calcular a derivada pela definição, vamos lembrar a fórmula:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x

Pronto, agora vamos aplicar x + ∆ x na função:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + ∆ x 2 - x + ∆ x - 1 - 2 x 2 - x - 1     ∆ x

Passo 2

Agora vamos destrinchar essa expressão, vamos lá:

lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x + ∆ x 2 - x + ∆ x - 1 - 2 x 2 - x - 1     ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 2 + 2 x ∆ x + ∆ x 2 - x - ∆ x - 1 - 2 x 2 + x + 1   ∆ x =

= lim ∆ x → 0 ⁡ 2 x 2 + 4 x ∆ x + 2 ∆ x 2 - ∆ x - 2 x 2   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 4 x ∆ x + 2 ∆ x 2 - ∆ x   ∆ x

Pronto, destrinchamos o máximo que deu, agora é só cortar os ∆ x do numerador com o do denominador e aplicar o limite:

lim ∆ x → 0 ⁡ 4 x ∆ x + 2 ∆ x 2 - ∆ x   ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ 4 x + 2 ∆ x - 1 = 4 x + 2 ⋅ 0 - 1 = 4 x - 1

Tudo certo, achamos que a derivada de f x = 2 x 2 - x - 1 é f ' x = 4 x - 1 .

Resposta

f ' x = 4 x - 1

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