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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 11d

Usando a definição de limite, mostre que:

d) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = 0

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos mostrar que de acordo com a definição de limite:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) - 0| < epsilon sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Passo 2

Podemos reorganizar |(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) - 0| da seguinte forma:

|(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) - 0| = (2 x^2 sqrt(x^2 + y^2))/(x^2 + y^2)

E também podemos dizer que:

x^2 <= x^2 + y^2

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

|(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2))| <= (2 (x^2 + y^2) sqrt(x^2 + y^2))/(x^2 + y^2)

Simplificando os termos, nós temos:

|(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2))| <= 2 sqrt(x^2 + y^2)

Como 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta , podemos dizer que:

|(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2))| <= 2 delta

Passo 4

Assim, se tomamos delta = (epsilon)/(2) podemos dizer que:

|(2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2))| <= epsilon

Sempre que 0 < sqrt(x^2 + y^2) < delta .

Com isso provamos que:

underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (2 x^2)/(sqrt(x^2 + y^2)) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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