Usando a definição de limite, mostre que:

d) lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 x 2 x 2 + y 2 = 0

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos mostrar que de acordo com a definição de limite:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que 2 x 2 x 2 + y 2 - 0 < ε sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Passo 2

Podemos reorganizar 2 x 2 x 2 + y 2 - 0 da seguinte forma:

2 x 2 x 2 + y 2 - 0 = 2 x 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

E também podemos dizer que:

x 2 ≤ x 2 + y 2

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

2 x 2 x 2 + y 2 ≤ 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2

Simplificando os termos, nós temos:

2 x 2 x 2 + y 2 ≤ 2 x 2 + y 2

Como 0 < x 2 + y 2 < δ , podemos dizer que:

2 x 2 x 2 + y 2 ≤ 2 δ

Passo 4

Assim, se tomamos δ = ε 2 podemos dizer que:

2 x 2 x 2 + y 2 ≤ ε

Sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Com isso provamos que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ 2 x 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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