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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 25

Calcule a derivada indicada.

(d)/(d x) ((sqrt(x^2 - 1))/(x))

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada dada. Neste caso, aplicar diretamente a regra do quociente, porém há uma alternativa mais simples. Note que podemos escrever

(sqrt(x^2 - 1))/(x) = sqrt((x^2 - 1)/(x^2)) = sqrt(1 - (1)/(x^2)) = sqrt(1 - x^(- 2)) = (1 - x^(- 2))^(1 // 2)

Note que desta forma nós fugimos da regra do quociente (que é bem desagradável de usar).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos que

(d)/(d x) ((sqrt(x^2 - 1))/(x)) = (d)/(d x) ((1 - x^(- 2))^((1)/(2))) = (1)/(2) (1 - x^(- 2))^(- 1 // 2) * (1 - x^(- 2))^'

Assim,

(d)/(d x) ((sqrt(x^2 - 1))/(x)) = (1)/(2) ((x^2 - 1)/(x^2))^(- (1)/(2)) (1 - x^(- 2))^' = (1)/(2) sqrt((x^2)/(x^2 - 1)) (1 - x^(- 2))^' = (x)/(2 sqrt(x^2 - 1)) * (1 - x^(- 2))^'

Passo 3

Só falta calcular (1 - x^(- 2))^' . Note que podemos usar a regra do tombo:

(1 - x^(- 2))^' = - (x^(- 2))^' = - * (- 2) * x^(- 2 - 1) = 2 x^(- 3)

Assim,

(d)/(d x) ((sqrt(x^2 - 1))/(x)) = (x * 2 x^(- 3))/(2 sqrt(x^2 - 1)) = (1)/(x^2 sqrt(x^2 - 1))

Resposta

(d)/(d x) ((sqrt(x^2 - 1))/(x)) = (1)/(x^2 sqrt(x^2 - 1))

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