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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.7 - Ex. 35

Calcule a derivada indicada.

D_z ((1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Antes de derivarmos, vamos reescrever a função:

(1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z)) = (1)/((1 + cos^2 2 z)^(1 // 2)) = (1 + cos^2 2 z)^(- 1 // 2)

Assim, podemos derivar usando a regra da cadeia:

D_z ((1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z))) = - (1)/(2) (1 + cos^2 2 z)^(- (1)/(2) - 1) * (1 + cos^2 2 z)^'

Passo 2

Assim, temos que

D_z ((1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z))) = - ((1 + cos^2 2 z)^')/(2 (1 + cos^2 2 z)^(3 // 2))

Note que

(1 + cos^2 2 z)^' = (cos^2 2 z)^' = 2 cos 2 z (cos 2 z)^'

Como (cos 2 z)^' = - s e n 2 z * (2 z)^' = - 2 s e n 2 z , temos que

(1 + cos^2 2 z)^' = - 4 s e n 2 z cos 2 z

Passo 3

Substituindo na expressão da derivada:

D_z ((1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z))) = - (( - 4 s e n 2 z cos 2 z ))/(2 (1 + cos^2 2 z)^(3 // 2))

Assim,

D_z ((1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z))) = (2 s e n 2 z cos 2 z)/((1 + cos^2 2 z)^(3 // 2))

Resposta

D_z ((1)/(sqrt(1 + cos^2 2 z))) = (2 s e n 2 z cos 2 z)/((1 + cos^2 2 z)^(3 // 2))

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