Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.7 - Ex. 19
19. Considere o sistema
Em que é um parâmetro positivo. Note que esse sistema inclui o do Problema 18 acima e também o do Problema 13 na Seção 9.5.
(a) Encontre todos os pontos críticos.
(b) Considere o ponto crítico no interior do primeiro quadrante. Encontre os autovalores do sistema linear aproximado. Determine o valor em que esse ponto crítico muda de assintoticamente estável para instável.
(c) Desenhe um retrato de fase para um valor de ligeiramente maior do que . Observe que aparece um ciclo limite. Como esse ciclo limite varia quando a aumenta mais?
Passo 1
Para encontrar tais pontos como já estamos acostumados, a primeira coisa a se fazer é zerar as derivadas:
Jogando esse sisteminha no WolframAlpha para ganharmos tempo, já que a questão nos permite o auxílio de um computador, ganharemos a seguinte resposta:
Então todos esses são pontos críticos! Saca?
Passo 2
O ponto crítico no interior do primeiro quadrante é
Para encontrar os autovalores do sistema linear aproximado e depois encontrar , devemos...
Agora encontremos a jacobiana disso:
Substituindo o ponto de interesse ...
Simplificando isso aí...
SIMPLIFICANDO AINDA MAIS...
Então o sistema localmente linear será...
Para estudar a estabilidade e o tipo de ponto venha comigo calcular os autovetores!
Passo 3
Vamos começar avaliando o ponto , ok? Para isso vamos pegar aqui a matriz jacobiana desse ponto, como vimos no passo anterior...
Calculando então os autovalores dessa matriz...
Simplificando essa equação...
Resolvendo essa equação do segundo grau...
O valor de que mudará então de estável para instável e de tal modo que zere esse valor real:
Então...
Saca? Se for menor que , o valor de vai ter uma parte real positiva (sistema instável), e se ele for menor o sistema será estável.
Passo 4
Usando o mesmo código da questão anterior, só mudando a equação de definição do nosso sistema de EDO para o as nossas equações atuais:
Dessa forma aqui:
E escolhendo alguns pontos iniciais, como o ponto ou , e principalmente perceba que sempre as trajetórias tem a essa concha:
Observe que de fato aparecem cada vez mais círculos limites para a solução, pelo menos mais parecidas com círculos. Se começarmos a aumentar ainda mais o , digamos, para ...
Observe que embora as soluções continuem convergindo para a periodicidade, não é mais um círculo e sim essa espécie de concha!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)