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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 17

Nos problemas16 e 17, estimeo erro de truncamentolocal para o método de Euler em termos da solução y ' = ϕ ( t ) . Obtenha uma cota para e n + 1 em termos de t e de ϕ ( t ) que seja válida no intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Usando uma fórmula para a solução, obtenha uma cota mais precisa para e n + 1 . Para h   =   0,1 , calcule uma cota para e 1 e compare- a com oerro exato em t   =   0,1 . Calcule, também, uma cota para o erro e 4 no quarto passo.

17. y ' = 1 2 - t + 2 y ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r .

Olha só! Vamos primeiramente obter a solução exata do problema de valor inicial para essa equação...

Para isso, vamos reescrever a equação como uma E D O de primeira ordem de variáveis separáveis...

y ' - 2 y = 1 2 - t

Essa equação está no formato...

y ' + p t y = q t     p t = - 2 q t = 1 2 - t

Como p x = - 2 , o fator integrante vai ser...

μ t = e ∫ p t d t

μ t = e ∫ - 2 d t

μ t = e - 2 t

Depois, bora escrever a equação na forma abaixo...

( μ t ⋅ y ) ' = μ t ⋅ q t

( e - 2 t ⋅ y ) ' = e - 2 t ⋅ ( 0,5 - t )

( e - 2 t ⋅ y ) ' = 1 2 e - 2 t - t e - 2 t

Resolvendo ela...

( e - 2 t ⋅ y ) ' = 1 2 e - 2 t - t e - 2 t

- 2 e - 2 t y + e - 2 t y ' = 1 2 e - 2 t - t e - 2 t

y = t e - 2 t + 2 c 1 2 e - 2 t

y = t 2 + c 1 e 2 t

Logo, a nossa solução exata, considerando que aqui não trabalhamos com constantes, é...

ϕ t = t 2 + e 2 t

Passo 2

Agora, vamos partir pra fórmula do erro de truncamento local para o método de Euler, que é dada por...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' ( t - n ) h 2

Tirando a primeira derivada de ϕ t …  

ϕ ' t = t 2 + e 2 t '

ϕ ' t = 2 e 2 t

Depois, a segunda derivada...

ϕ ' ' t = 2 e 2 t '

ϕ ' ' t = 4 e 2 t

Temos que substituindo esses valores na fórmula do erro, ficamos com...

e n + 1 = 1 2 ϕ ' ' ( t - n ) h 2

e n + 1 = 1 2 ⋅ 4 ⋅ e 2 t - n h 2

e n + 1 = 2 e 2 t - n h 2

Com t n ≤ t - n ≤ t n + 1

Passo 3

Como 0   ≤   t   ≤   1 , então o maior valor que o erro pode assumir é e 2 h 2 e ficamos com...

e n + 1 ≤   2 e 2 h 2

Agora, considerando a primeira iteração com h = 0,1 para o erro que chamaremos de e 1 ...

e n + 1 = 2 e 2 t - n h 2

e 1 = 2 e 2 ⋅ 1 ⋅ 0,1 ⋅ ( 0,1 ) 2

e 1 = 2 e 0,2 100 = e 0,2 50

e 1 ≈ 2.4428 ⋅ 10 - 2

No caso do quarto passo, teríamos que...

e n + 1 = 2 e 2 t - n h 2

e 4 = 2 e 2 ⋅ 4 ⋅ 0.1 ⋅ ( 0,1 ) 2

e 4 = e 0.8 50

e 4 ≈ 4.451 ⋅ 10 - 2

Passo 4

Pra finalizar, vamos as comparações. Usando o método de E u l e r na equação do nosso caso...

y n + 1 = y n + h ( 0.5 - t n + 2 y n )

Para a primeira iteração, temos que:

y n + 1 = y n + h ( 0.5 - t n + 2 y n )

y 1 = y 0 + h ( 0.5 - t 0 + 2 y 0 )

y 1 = 1.0 + 0.1 ⋅ ( 0.5 + 2 ⋅ 1.0 )

y 1 = 1.25000

Já o valor exato, vai ser igual à...

ϕ 0,1 = t 2 + e 2 t

ϕ 0,1 = 0.1 2 + e 2 ⋅ 0.1

ϕ 0,1 = 1.271402758

De modo que o erro absoluto nesse caso, vai ser:

ϕ 0,1 - y 1 = 1.271402758 - 1.250000

ϕ 0,1 - y 1 = 2.1403 ⋅ 10 - 2

Podemos ver que a subtração, que é o erro absoluto, é menor do que o nosso erro de truncamento obtido para a primeira iteração, que foi...

e 1 ≈ 2.4428 ⋅ 10 - 2

Resposta

E r r o   d e   t r u n c a m e n t o → e n + 1 = 2 e 2 t - n h 2 ,     e n + 1 ≤   2 e 2 h 2  

e 1 = e 0,2 50

e 4 ≈ 4.451 ⋅ 10 - 2

y 1 = 1.2500

ϕ 0,1 = 1.271402758

E r r o ϕ 0,1 - y 1 = 2.1403 ⋅ 10 - 2 < e 0,2 50

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