Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 20a

Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial , através da superfície do sólido ,sendo:

, e o cilindro

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável . Se é a normal unitária exterior a e se é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de ordem contínuas em um domínio que contém , então

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Sendo o cilindro, vamos parametrizar usando coordenadas cilíndricas. Assim

Assim temos que nossos limites são , e como já definido .

Passo 3

Sendo nosso . Assim temos que o nosso divergente será

E assim, se tivéssemos visto isso desde o começo, veríamos que a integral de algo nulo, é algo nulo, ou seja

Resposta

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11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provec. ∫ ∫ σ f ∂ f ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + ∇ f 2d V

10. Sejam r= x ,y ,z e r=| |r | | . Seja σ uma superfície esférica, com normal exteriorCalcule ∫ ∫ σ r → ⋅ n → r 3 d S

6. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω e tal que div v → = 0 em Ω. Seja B ⊂ Ω um compacto em forma de “tubo” (veja figura) ao qual o teorema da divergência se aplica. Sejam σ 1 e σ2 as

Calcule ∬ S r o tF.nd s , Onde F x , y , z = 2 x y , 0 , - x z e S é o elipsoide de equação x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 .

Uma função f ( x , y , z ) é dita harmônica se ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 para qualquer x , y , z ∈ R 3 . Mostre que, se f é classe C 2 e harmônica e S é uma superfície fechada, então