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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 6

6. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω e tal que div v → = 0 em Ω. Seja B ⊂ Ω um compacto em forma de “tubo” (veja figura) ao qual o teorema da divergência se aplica. Sejam σ 1 e σ2 as secções transversais, com normais n 1   → apontando para fora n 2   e apontando para dentro de B. Suponha que v →   seja tangente à superfície lateral do tubo.

∫ ∫ σ 2 v → ⋅ n 2 →   d S = ∫ ∫ σ 1 v → ⋅ n 1 →   d S  

Passo 1

Aqui vamos ter usar de logica e da equação de continuidade para resolver. Temos essa equação que nos diz

d ρ d t + ∇   .   p v = 0  

Essa é Equação da continuidade. Que diz que que a variação da densidade do fluido pelo tempo é causado por alguma Fonte ou Sumidouro Vetorial.

O enunciado diz que ∇   .   v = 0 , logo como a densidade é um escalar, não altera o produto vetorial que é divergente. Logo ∇   .   p v = 0 que implica em

d ρ d t = 0  

OU seja dentro da nossa superfície fechada não há variação de densidade do fluido. Então basicamente “O que entra sai”.

Passo 2

Quando temos esse tubo fechado e sabemos que “o que entra sai” , logo o fluxo que atravessa σ 2   obrigatoriamente tem que atravessar σ 1 e assim

∫ ∫ σ 2 v → ⋅ n 2 →   d S = ∫ ∫ σ 1 v → ⋅ n 1 →   d S  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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