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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 11-c

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Prove

c.

∫ ∫ σ f ∂ f ∂ n     d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + ∇ f 2   d V

Passo 1

Sabemos pelo teorema de Gauss que

∫ ∫ σ F → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F →   d V

Logo se

F → = f   ∂ f ∂ n

Teremos uma derivada direcional e podemos usar de propriedade que nos diz

f ∂ f ∂ n = f ( ∇ f ⋅ n )  

Entao teremos

∫ ∫ σ f ( ∇ f ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B ∇   . f ( ∇ f )   d V

Passo 2

E uma das propriedades de ∇   diz que

∇   . f ∇ f =   f ∇ 2 f + ∇ f ⋅ ∇ f  

E como

∇ f ⋅ ∇ f   = | ∇ f   | 2  

Entao por fim

∫ ∫ σ f ( ∇ f ⋅ n )   d S = ∫ ∫ ∫ B ∇   . f ( ∇ f )   d V   = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + | ∇ f   | 2     d V

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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