Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 20b
Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial , através da superfície do sólido ,sendo:
e o cone
Passo 1
O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.
Seja um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável . Se é a normal unitária exterior a e se é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de ordem contínuas em um domínio que contém , então
Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.
Passo 2
Sendo o cone, vamos parametrizar usando coordenadas polares. Assim
Assim temos que nossos limites são , e como já definido , já queremos a parte de dentro do cone.
Outra coisa importante que devemos lembrar é que a transformação
Onde em coordenadas polares é .
Passo 3
Sendo nosso . Assim temos que o nosso divergente será
Assim, dada a parametrização que escolhemos no passo 2, então temos que
Assim nossa integral pode ser escrita como
Lembrando que a integral de seno e cosseno entre o intervalo de á é sempre nula, temos então que sobra
Assim temos