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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 19

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

∬ S ( 2 d y d z + 3 d z d x - 5 d x d y )

onde S é a superfície do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 acima do plano z = 0 .

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

Neste nosso problema, não podemos aplicar o teorema da divergência, pois é necessário que a superfície seja fechada. Neste caso, temos que a tampa inferior está aberta. Você poderia pensar, “mas o enunciado não pede para usar o teorema da divergência? ” e a resposta é, “estamos usando, quando dizemos quando pode ou não aplica-lo”.

Passo 3

Assim vamos começar. Tome pelo enunciado que f → = 2,3 , - 5 . Para acharmos o vetor tangente a superfície, vamos parametrizar nossa superfície e calcular o produto vetorial dos vetores diretores.

r → u , v = u cos ⁡ v ,   u   s e n   v ,   9 - u 2

Onde 0 ≤ u ≤ 3 e 0 ≤ v ≤ 2 π .

Assim temos

∂ r → ∂ u = ( cos ⁡ v ,   s e n   v ,   - 2 u )

E

∂ r → ∂ v = - u   s e n   v ,   u cos ⁡ v , 0

Assim temos

n → = ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = i ^ j ^ k ^ cos ⁡ v s e n   v - 2 u - u   s e n   v u cos ⁡ v 0 = 2 u 2 cos ⁡ v ,   2 u 2 s e n   v , u

Passo 4

Agora podemos aplicar nossa integral

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2,3 , - 5 ⋅ 2 u 2 cos ⁡ v ,   2 u 2 s e n   v , u d u d v

Aplicando o produto escalar

∫ 0 2 π ∫ 0 3 u 2 4 cos ⁡ v + 6   s e n   v - 5 u d u d v

Lembrando que sempre que tivemos a integral de seno ou cosseno de 0 à 2 π , seu valor será zero. Assim temos

∫ 0 2 π ∫ 0 3 - 5 u d u d v = - 45 π

Resposta

- 45 π

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