Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 13
Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.
Sendo e a superfície exterior do paralelepípedo retangular delimitado pelos planos coordenados e pelos planos .
Passo 1
O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.
Seja um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável . Se é a normal unitária exterior a e se é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de ordem contínuas em um domínio que contém , então
Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.
Passo 2
A Primeira coisa que vamos fazer, é tentar identificar algumas coisas que nos foram dadas
Temos que nossa é
E assim temos que o divergente será
Nosso paralelepípedo é limitado pelos planos coordenados e e os planos dados , e . Assim os limites de integração são
Passo 3
Assim nossa integral pode ser escrita como
Que é uma integral simples
Que fica
Seguindo integrando agora em , temos
Que fica