Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S f → ⋅ n → d S Sendo f → = x 2 y , 2 x z , z 2 e S a superfície exterior do paralelepípedo retangular delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1 ,y = 2 ,z = 3 .

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 13

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada.

Sendo e a superfície exterior do paralelepípedo retangular delimitado pelos planos coordenados e pelos planos .

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável . Se é a normal unitária exterior a e se é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de ordem contínuas em um domínio que contém , então

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Passo 2

A Primeira coisa que vamos fazer, é tentar identificar algumas coisas que nos foram dadas

Temos que nossa é

E assim temos que o divergente será

Nosso paralelepípedo é limitado pelos planos coordenados e e os planos dados , e . Assim os limites de integração são

Passo 3

Assim nossa integral pode ser escrita como

Que é uma integral simples

Que fica

Seguindo integrando agora em , temos

Que fica

Resposta

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Seja φ x , y = f x 2 + y 2 , onde f ( u ) é uma função real, de uma variável real e derivável até a 2ª ordem. Suponha que ∇ 2 φ = 0 .Mostre que uf ' ' u = - f ' u ,u0 .Determine uma f não constante, p

φ ( x , y ) é uma função cujo gradiente tem a representação geométrica abaixo:O que é mais razoável? ∇ 2 φ = 0o u∇ 2 φ ≠ 0 ?

O que é mais razoável esperar: d i v vec F = 0 o u d i v vec F != 0 ?

Considere um escoamento no aberto Ω de R 3 , com velocidade v → = ( x , y , z ) , cujas componentes são supostamente de classe C1 em Ω. Suponha que derive de um potencial (isto é, que existe φ: Ω → ℝ,

Calcule o laplaciano da função φ dada.phi (x , y) = x y phi (x , y) = ln (x^2 + y^2) phi (x , y) = a r c t g (x)/(y) , y0 phi (x , y) = (1)/(4) e^(x^2 - y^2)