Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 22

Verificar o teorema da divergência para

f → = 2 x y + z i ^ + y 2 j ^ - x + 3 y k ^

Tomado no sólido limitado por x + y + 2 z = 6 ,   x = 0 ,   y = 0 e z = 0 .

Passo 1

O teorema da divergência relaciona uma integral tripla sobre um sólido e uma integral dupla sobre a superfície fronteira deste sólido.

Seja T um sólido no espaço, limitado por uma superfície orientável S . Se n → é a normal unitária exterior a S e se f → = f 1 i → + f 2 j → + f 3 k → é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais de 1 ª ordem contínuas em um domínio que contém T , então

∬ S f → ⋅ n → d S = ∭ T ∇ ⋅ f → d V

Assim tendo introduzido formalmente o nosso teorema, podemos agora começar a aplica-lo e começar a nos familiarizarmos com ele.

Para nosso problema, vamos trabalhar em duas partes. Primeiro integrando para a superfície e depois para o sólido, onde aplicaremos o teorema da divergência.

Passo 2

Para a primeira integral, vamos primeiro calcular o valor f 1 → ⋅ n → 1 para cada superfície.

Vamos fazer assim,

Para x = 0 , temos que f → 1 = z , y 2 , - 3 y e n → 1 = - 1,0 , 0

Para y = 0 , temos que f → 2 = z , 0 , - x e n → 2 = 0 , - 1,0

Para z = 0 , temos que f → 3 = 2 x y , y 2 , - x - 3 y e n → 3 = 0,0 , - 1

Assim temos que

f → 1 ⋅ n → 1 = - z

f → 2 ⋅ n → 2 = 0

f → 3 ⋅ n → 3 = x + 3 y

Para S 4 , devemos primeiro parametrizar

r → u , v = u , v , 3 - u 2 - v 2  

Assim nossa f 4 se transforma em

f 4 = 2 u v + 3 - u 2 - v 2 , v 2 , - u - 3 v

E nosso vetor normal

n → 4 u , v = ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = i ^ j ^ k ^ 1 0 - 1 / 2 0 1 - 1 / 2 = 1 2 , 1 2 , 1

Assim teremos

f → 4 u , v ⋅ n → 4 u , v = u v - 5 u 4 - 13 v 4 + v 2 2 + 3 2  

Passo 3

Para cada superfície, temos que definir os limites de integração.

Para S 1 , temos

y + 2 z = 6 → z = 3 - y / 2

Assim temos y ∈ [ 0 ,   6 ] e z ∈ [ 0 ,   3 - y / 2 ]

Para S 2 , temos

x + 2 z = 6 → z = 3 - x / 2

Assim temos x ∈ [ 0 ,   6 ] e z ∈ [ 0 ,   3 - x / 2 ]

Mas essa superfície não tinha necessidade, visto que a integral já é nula.

Para S 3 , temos

x + y = 6 → z = 6 - x

Assim temos x ∈ [ 0 ,   6 ] e y ∈ [ 0 ,   6 - x ]

E para S 4 temos que os limites de integração são a projeção da superfície no plano x y , ou seja, os mesmo limites que a superfície S 3 , só que u ∈ 0,6 e v ∈ 0,6 - u .

Assim nossa integral de superfície será

∫ 0 6 ∫ 0 3 - y 2 - z d z d y + ∫ 0 6 ∫ 0 6 - x ( x + 3 y ) d y d x + ∫ 0 6 ∫ 0 6 - u u v - 5 u 4 - 1 3 v 4 + v 2 2 + 3 2 d v d u  

Passo 4

Por fim vamos integrar nossas integrais.

A primeira

∫ 0 6 ∫ 0 3 - y 2 - z d z d y = ∫ 0 6 - z 2 2 0 3 - y 2 d y = - 1 2 ∫ 0 6 3 - y 2 2 d y

Assim temos

= 1 3 3 - y 2 3 0 6 = - 9

A segunda integral

∫ 0 6 ∫ 0 6 - x ( x + 3 y ) d y d x = ∫ 0 6 x y + 3 y 2 2 0 6 - x d x = ∫ 0 6 x 6 - x + 3 2 6 - x 2 d x

1 2 ∫ 0 6 x 2 - 24 x + 108 d x = 1 2 x 3 3 - 12 x 2 + 108 x 0 6 = 144

E a última temos

∫ 0 6 ∫ 0 6 - u u v - 5 u 4 - 1 3 v 4 + v 2 2 + 3 2 d v d u  

1 2 ∫ 0 6 u v 2 - 5 u v 2 - 1 3 v 2 4 + v 3 3 + 3 v 0 6 - u d u

Substituindo e resumindo, nos sobra

1 24 ∫ 0 6 8 u 3 - 81 u 2 + 252 u - 324 d u

Que por fim temos

1 24 2 u 4 - 927 u 3 + 126 u 2 - 324 u 0 6 = - 27

Assim temos que para a integral de superfície, depois de muito sofrimento, temos que o valor é

- 9 + 144 - 27 = 108

Passo 5

Agora para verificar o teorema, vamos fazer a integral de volume.

Primeiro, tirando o divergente de f → temos

∇ ⋅ f → = 4 y

Os limites de integração do nosso tetraedro são x ∈ 0,6 , y ∈ 0,6 - x e z ∈ 3 - x 2 - y 2 . Assim temos

∫ 0 6 ∫ 0 6 - x ∫ 0 3 - x 2 - y 2 4 y d z d y d x

Com a primeira integral, temos

∫ 0 6 ∫ 0 6 - x 12 y - 2 y 2 - 2 x y d y d x

Integrando agora em y

∫ 0 6 6 y 2 - 2 3 y 3 - y 2 x 0 6 - x d x = ∫ 0 6 y 2 6 - x - 2 3 y 3 0 6 d x

1 3 ∫ 0 6 6 - x 3 d x = 1 12 6 - x 4 0 6 = 108

Que é o mesmo valor que encontramos na integral de superfície

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S f → ⋅ n → d S Sendo f → = ( 2 x , 2 y , 0 ) e S a superfície do Exercício 13, exceto a face superior.
Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = 2 i ^ + 2 j ^ = 2 k ^ e T a esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4
Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. I = ∬ S 4 x - y d y d z + y 2 d z d x - x y d x d y Onde S é a superfície exterior do cubo limitado pelos planos coordenados
Usar o teorema da divergência para calcular o fluxo do campo vetorial f → , através da superfície do sólido T ,sendo: f → = - y j ^ + z k ^ , e T o cilindro x 2 + y 2 ≤ 16 ,- 2 ≤ z ≤ 2
Verificar o teorema de Stokes para g → = 4 y i ^ - x z j ^ + y z 2 k ^ Onde S é a superfície do paraboloide 2 z = x 2 + y 2 limitado por z = 8 e C é o seu contorno percorrido no sentido anti-horário.