Considere um escoamento no aberto Ω de , com velocidade , cujas componentes são supostamente de classe C1 em Ω. Suponha que derive de um potencial (isto é, que existe φ: Ω → ℝ, com = em Ω).
- Prove que é irrotacional.
- Prove que se é incompressível, então
Passo 1
- Se deriva de um potencial, então a gente pode dizer que:
- Se é incompreensível então .
Sendo que cada uma das componentes é de classe . O que isso quer dizer? Isso:
Montando o rotacional ficamos com:
Ou seja, é irrotacional.
Passo 2
Mas .
Como o laplaciano é o divergente do gradiente, se o divergente deu zero, consequentemente o laplaciano também será zero.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)