Considere um escoamento no aberto Ω de , com velocidade , cujas componentes são supostamente de classe C1 em Ω. Suponha que derive de um potencial (isto é, que existe φ: Ω → ℝ, com = em Ω).
- Prove que é irrotacional.
- Prove que se é incompressível, então
Passo 1
- Se deriva de um potencial, então a gente pode dizer que:
- Se é incompreensível então .
Sendo que cada uma das componentes é de classe . O que isso quer dizer? Isso:
Montando o rotacional ficamos com:
Ou seja, é irrotacional.
Passo 2
Mas .
Como o laplaciano é o divergente do gradiente, se o divergente deu zero, consequentemente o laplaciano também será zero.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Verificar o teorema de Stokes para g → = 4 y i ^ - x z j ^ + y z 2 k ^ Onde S é a superfície do paraboloide 2 z = x 2 + y 2 limitado por z = 8 e C é o seu contorno percorrido no sentido anti-horário.
Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S f → ⋅ n → d S Sendo f → = 2 x i ^ + 3 y j ^ + 4 z k ^ e S a superfície exterior do sólido delimitado pelos paraboloides z
Calcule o divergente do campo vetorial dado.vec v (x , y) = - y vec i + x vec j
Calcule o divergente do campo vetorial dado.vec u (x , y , z) = x vec i + y vec j + z vec k
Calcule o divergente do campo vetorial dado.vec F (x , y , z) = (x^2 - y^2) vec i + s e n (x^2 + y^2) vec j + a r c t g z vec k