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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 4

Considere um escoamento no aberto Ω de R 3 , com velocidade v → = ( x , y , z ) , cujas componentes são supostamente de classe C1 em Ω. Suponha que derive de um potencial (isto é, que existe φ: Ω → ℝ, com ∇ φ = v → em Ω).

  1. Prove que v → é irrotacional.
  2. Prove que se v → é incompressível, então ∇ 2 φ = 0 .

Passo 1

  1. Se v → deriva de um potencial, então a gente pode dizer que:

    2. v → x , y , z = ∂ φ ∂ x i → + ∂ φ ∂ y j → + ∂ φ ∂ z

    Sendo que cada uma das componentes é de classe C 1 . O que isso quer dizer? Isso:

    ∂ 2 φ ∂ x ∂ y = ∂ 2 φ ∂ y ∂ x

    ∂ 2 φ ∂ x ∂ z = ∂ 2 φ ∂ z ∂ x

    ∂ 2 φ ∂ y ∂ z = ∂ 2 φ ∂ z ∂ y

    Montando o rotacional ficamos com:

    r o t   v → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ φ ∂ z

    = ∂ 2 φ ∂ y ∂ z - ∂ 2 φ ∂ z ∂ y i → + ∂ 2 φ ∂ z ∂ x - ∂ 2 φ ∂ x ∂ z j → + ∂ 2 φ ∂ x ∂ y - ∂ 2 φ ∂ y ∂ x k →

    r o t   v → = 0

    Ou seja, é irrotacional.

    Passo 2

  2. Se v → é incompreensível então d i v   v → = 0 .

Mas d i v   v → =   d i v   ∇ φ = ∇ 2 φ .

Como o laplaciano é o divergente do gradiente, se o divergente deu zero, consequentemente o laplaciano também será zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S f → ⋅ n → d S Sendo f → = 2 x i ^ + 3 y j ^ + 4 z k ^ e S a superfície exterior do sólido delimitado pelos paraboloides z
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