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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.16 - Ex. 9

Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada

∮ C x 2 + 2 y 3 d x + x y 2 d y + z 2 + 1 3 d z

sendo C a circunferência x = a cos ⁡ t ,   y = a s e n   t ,   z = 2 ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

O teorema de Stokes nos sugere que, dada uma superfície S orientável, suave por partes, delimitada por uma curva fechada, simples, suave por partes, C , então

∮ C f → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f → ⋅ n →   d S

Onde n → é o vetor normal a superfície.

Passo 2

Vamos começar nosso problema, aplicando o Teorema de Stokes e calculando o rotacional.

Tome que nossa f → é definida como

f → = ( x 2 + 2 y 3 , x y 2 , z 2 + 1 3

então

∇ × f → = i ^ j ^ k ^ ∂ / ∂ x ∂ / ∂ y ∂ / ∂ z x 2 + 2 y 3 x y 2 z 2 + 1 3

= 0 i ^ + 0 j ^ = ( y 2 - 6 y 2 ) k ^ = 0,0 , - 5 y 2

Deste ponto, vamos tomar nossa superfície e calcular nosso vetor n → .

Seja r → u , v = ( u cos ⁡ v ,   u   s e n   v ,   2 ) com u ∈ 0 , a e v ∈ 0,2 π .

Então temos

∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = i ^ j ^ k ^ s e n   v   s e n   v 0 - u   s e n   v u cos ⁡ v 0 = u k ^

E temos que

f → r → u , v = ( 0,0 , - 5 u 2   s e n 2 v )

Assim temos que

n → x , y d x d y = ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v d u d v

E

∇ × f → r → u , v ⋅ ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v = - 5 u 3   s e n 2 v

Passo 3

Com isso nossa integral se resume em

- 5 ∫ 0 2 π ∫ 0 a u 3 s e n 2 v   d u   d v = - ∫ 0 2 π u 4 4 0 1 s e n 2 v   d v

- 5 a 4 4 ∫ 0 2 π s e n 2 v   d v = - 5 a 4 4 ∫ 0 2 π 1 - s e n 2 v 2 d v = - 5 a 4 4 v 2 0 2 π

= - 5 a 4 4 π

Resposta

- 5 a 4 4 π

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