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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.4 - Ex. 5

Calcule o laplaciano da função φ dada.

  1. phi (x , y) = x y
  2. phi (x , y) = ln (x^2 + y^2)
  3. phi (x , y) = a r c t g (x)/(y) , y > 0
  4. phi (x , y) = (1)/(4) e^(x^2 - y^2)

Passo 1

Vamos lá, o laplaciano é calculado assim:

grad^2 phi = (del^2 phi)/(del^2 x) + (del^2 phi)/(del^2 y)

Na primeira então a gente tem:

  1. grad phi = (del (x y))/(del x) + (del (x y))/(del y) = y + x

    2. Derivamos de novo...

    grad^2 phi = (del ( y ))/(del x) + (del (x))/(del y) = 0 + 0 = 0

    Boa! É só isso aqui...

    Passo 2

    Bora pra segunda função...

  2. Fazendo as primeiras derivadas parciais, temos:

    3. (del (ln (x^2 + y^2)))/(del x) + (del (ln (x^2 + y^2)))/(del y) = (2 x)/(x^2 + y^2) + (2 y)/(x^2 + y^2)

    Beleza, agora a gente faz as derivadas parciais delas de novo...

    grad^2 phi = (del ((2 x)/(x^2 + y^2)))/(del x) + (del ((2 y)/(x^2 + y^2)))/(del y)

    = (2 (x^2 + y^2) - (2 x) (2 x))/((x^2 + y^2)^2) + ((2 (x^2 + y^2) - (2 y) (2 y))/((x^2 + y^2)^2))

    = (2 x^2 + 2 y^2 - 4 x^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 x^2 + 2 y^2 - 4 y^2)/((x^2 + y^2)^2)

    = (2 y^2 - 2 x^2)/((x^2 + y^2)^2) + (2 x^2 - 2 y^2)/((x^2 + y^2)^2)

    = 0

    E... foi mais uma.

    Passo 3

  3. Vamos fazer as primeiras derivadas parciais...

    4. grad phi = (del (a r c t g (x)/(y)))/(del x) + (del (a r c t g (x)/(y)))/(del y)

    = (1)/(1 + ((x)/(y))^2) ((1)/(y)) + (1)/(1 + ((x)/(y))^2) ((1)/(y))

    Agora a gente faz as derivadas parciais de novo...

    grad^2 phi = (del ((1)/(1 + ((x)/(y))^2) ((1)/(y))))/(del x) + (del ((1)/(1 + ((x)/(y))^2) (- (x)/(y^2))))/(del y)

    grad^2 phi = - (2 x y)/((y^2 + x^2)^2) + (2 x y)/((y^2 + x^2)^2)

    = 0

    (de novo?!)

    Beleza... vamos para a última.

    Passo 4

  4. De novo, vamos começar derivando a primeira vez...

grad phi = (del ((1)/(4) e^(x^2 - y^2)))/(del x) + (del ((1)/(4) e^(x^2 - y^2)))/(del y)

= (e^(x^2 - y^2) x)/(2) + (- (e^(x^2 - y^2) y)/(2))

Derivamos cada um parcialmente agora...

grad^2 phi = (del ((e^(x^2 - y^2) x)/(2)))/(del x) + (del (- (e^(x^2 - y^2) y)/(2)))/(del y)

= e^(x^2 - y^2) x^2 + (e^(x^2 - y^2))/(2) + e^(x^2 + y^2) y^2 - (e^(x^2 - y^2))/(2)

= (x^2 + y^2) (e^(x^2 - y^2))

Prontinho! Todos os laplacianos calculados😉

Resposta

  1. 0
  2. 0
  3. 0
  4. (x^2 + y^2) (e^(x^2 - y^2))
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