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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 11-a

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Prove

a.

∫ ∫ σ ∂ g ∂ n     d S = ∫ ∫ ∫ B ∇ 2 g   d V

Passo 1

Sabemos pelo teorema de Gauss que

∫ ∫ σ F → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F →   d V

Logo se

F → =   ∂ g ∂ n

Teremos uma derivada direcional e podemos usar de propriedade que nos diz

∂ g ∂ n = ∇ g ⋅ n  

Entao teremos

∫ ∫ σ ∇ g ⋅ n   d S = ∫ ∫ ∫ B ∇   . ∇ g   d V

Passo 2

E uma das propriedades de ∇   diz que

∇   . ∇ g =   ∇ 2 g

Entao por fim

∫ ∫ σ ∇ g ⋅ n   d S = ∫ ∫ ∫ B ∇   . ∇ g   d V = ∫ ∫ ∫ B ∇ 2 g   d V

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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