5. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω = ℝ3 - {(0, 0, 0),(1, 1, 1)} e tal que div v → = 0 em Ω. Sejam σ 1e σ 2 superfícies esféricas de centros (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a 1 4 , com normais exteriores n 1 → e n 2 → . Seja σ 3 uma superfície esférica de centro na origem e raio 5, com normal exterior n 3 → . Prove que    

∫ ∫ σ 3 v → ⋅ n 3 →   d S = ∫ ∫ σ 2 v → ⋅ n 2 →   d S + ∫ ∫ 1 v → ⋅ n 1 →   d S  

Passo 1

Essa é uma questão pegadinha. Primeiro temos que perceber que a esfera σ 3 engloba σ 2 e σ 1 . E por ultimo vamos usar o teorema da divergência. Que diz

∫ ∫ σ 3 F → ⋅ n →   d S =   ∫ ∫ ∫ V ∇   .     F →   d V

O enunciado diz que

∇   .   v = 0    

Logo por Gauss teremos que

∫ ∫ σ v → ⋅ n →   d S = ∫ ∫ ∫ V ∇   .     v →   d V = 0  

Para quaisquer que sejam as superfícies. Logo

∫ ∫ σ 3 v → ⋅ n 3 →   d S = ∫ ∫ σ 2 v → ⋅ n 2 →   d S = ∫ ∫ 1 v → ⋅ n 1 →   d S = 0  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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