Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 5
5. Seja um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω = ℝ3 - {(0, 0, 0),(1, 1, 1)} e tal que div = 0 em Ω. Sejam σ 1e σ 2 superfícies esféricas de centros (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a , com normais exteriores e . Seja σ 3 uma superfície esférica de centro na origem e raio 5, com normal exterior . Prove que
Passo 1
Essa é uma questão pegadinha. Primeiro temos que perceber que a esfera engloba e . E por ultimo vamos usar o teorema da divergência. Que diz
O enunciado diz que
Logo por Gauss teremos que
Para quaisquer que sejam as superfícies. Logo
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Calcule ∬ S r o tF.nd s , Onde F x , y , z = 2 x y , 0 , - x z e S é o elipsoide de equação x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 .
Uma função f ( x , y , z ) é dita harmônica se ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 para qualquer x , y , z ∈ R 3 . Mostre que, se f é classe C 2 e harmônica e S é uma superfície fechada, então
Calcule:O fluxo de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1 ( x , y , z ) através da superfície do sólido W limitado pelas esferas x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e x 2 + y 2 + z 2 = b 2 , ab , orientadas com sentidos
Considere a superfície S obtida girando-se o segmento de reta que liga os pontos ( 1,0 , 1 ) e ( 0,0 , 3 ) em torno do eixo z . Calcule ∬ S r o tF.nd s , onde n é o campo de vetores normais exterior a
Calcule o fluxo do campo F x , y , z = x 3 3 + y , y 3 3 , z 3 3 + 2 através da superfície S do sólido W definido por W = x , y , z ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 ,x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4e z ≥x 2 + y 2,