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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.7 - Ex. 32

Use int_b^a f (x) g (x) d x = f (x_0) int_b^a g (x) d x p a r a p r o v a r a d e s i g u a l d e

int_0^1 (x c o s x)/(x^2 + 1) d x <= int_0^1 x d x

Passo 1

Temos que provar que f (x_0) < 1 . P o r q u e A s s i m f (x_0) int_b^a g (x) d x < int_b^a g (x) d x

Passo 2

Sabendo do teorema f (x_0) = (int_b^a f (x) d x)/((a - b))

Neste caso teremos que quebrar f ( x ) em 2 partes. Pois :

f (x) = int_0^1 (c o s x)/(x^2 + 1) d x , e n t ã o u s a r e m o s o t e o r e m a p a r a d i z e r

int_0^1 (c o s x)/(x^2 + 1) d x = j (x_0) int_0^1 (1)/(x^2 + 1) d x , o n d e j (x) = cos (x)

j (x_0) = (int_0^1 cos x d x)/(1 - 0) = s e n (1) - s e n (0) = 0,84

l o g o f (x) = int_0^1 (c o s x)/(x^2 + 1) d x = 0,84 int_0^1 (1)/(x^2 + 1) d x

Passo 3

Calcular o valor médio de int_0^1 (1)/(x^2 + 1) d x

f (x_0) = 0,84 (int_0^1 (1)/(x^2 + 1) d x)/((1 - 0)) = 0,84 . a r c t g (x) , x n o i n t e r v a l o [1,0] f (x_0) = (0,84 . pi)/(4) = 0,66

Resposta

0,66 int_0^1 x d x < int_0^1 x d x

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