Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 39

Use a aproximação S 10 da regra de Simpson para aproximar o comprimento da curva. Expresse sua resposta com pelo menos quatro casas decimais.

y = s e n x ,   d e s d e   x = 0   a t é   x = π

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Precisamos nos recordar que o comprimento de uma curva pode ser calculado através da seguinte fórmula:

L = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

E, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + y 3 + … + y n - 1 + 2 y 2 + y 4 + … + y n - 2 + y n

Podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho, onde a nova função y para o cálculo da aproximação será dada por:

y = 1 + f ' x 2

E:

f ' x = cos ⁡ x

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 10 ,   a = 0 ,   b = π

Passo 2

Então, para o comprimento da curva poderá ser escrito como:

L = ∫ 0 π 1 + cos ⁡ x 2 d x

Agora, temos que y = 1 + cos ⁡ x 2 . Então, podemos montar a seguinte tabela:

Então, a aproximação se dará por:

S 10 = 1 3 π - 0 10 36,48010463

Portanto:

S 10 = 3,82018762

Passo 3

Com isso, podemos concluir que o comprimento da curva terá um valor aproximado de:

L ≈ S 10

Ou seja:

L ≈ 3,82018762

Resposta

L ≈ 3,82018762

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