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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 2

1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

2. z = x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5 ,   ( 2 ,   3 ,   3 )

Passo 1

E aí, galera! Beleza?

Nessa questão, nós temos a equação da superfície

z = x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5

e temos que determinar a equação do plano tangente a ela no ponto ( 2 ,   3 ,   3 ) .

Para isso, vamos lembrar o seguinte: uma função de uma variável, y = f ( x ) , ela representa uma curva no R 2 . Dado um ponto dessa curva, y = f x 0 , podemos encontrar a equação da reta tangente a ela nesse ponto:

y - y 0 = f ' x 0 ( x - x 0 )

De forma análoga, dada uma função de duas variáveis z = f x , y , sabemos que ela representa uma superfície em R 3 . Dado um ponto nessa superfície, z = f x 0 , y 0 ,   podemos encontrar a equação do plano tangente a ela nesse ponto:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

onde f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 são as derivadas parciais da função no ponto e z 0 = f ( x 0 , y 0 ) .

Agora que sabemos isso, vamos às contas...

Passo 2

Vamos pegar a nossa função

z = x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5

e calcular f x x 0 , y 0 e f y x 0 , y 0 :

Primeiro calculamos f x :

f x = ∂ ∂ x x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5

Só o primeiro termo depende de x , logo

f x = 2 ( x + 2 )

Substituindo o ponto 2,3 , temos

f x 2,3 = 2 2 + 2 = 8

Agora calculamos f y :

f y = ∂ ∂ y x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5

Como só o segundo termo depende de y , temos

f y = - 4 ( y - 1 )

Substituindo o ponto 2,3 :

f y 2,3 = - 4 3 - 1 = - 8

Passo 3

Agora basta a gente aplicar a equação para o plano tangente:

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Veja que z 0 é o valor da terceira coordenada do ponto, ou seja, em ( 2,3 , 3 ) , z 0 = 3 .

Portanto,

z - 3 = 8 x - 2 - 8 y - 3

Abrindo os termos, temos

z = 3 + 8 x - 16 - 8 y + 24

z = 8 x - 8 y + 11

Essa é a equação do plano tangente à superfície z = x + 2 2 - 2 y - 1 2 - 5

no ponto ( 2 , 3,3 ) .

Resposta

z = 8 x - 8 y + 11

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Considere a função f x , y = x 3 x 2 + y 2 . Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.
A função z = z x , y é diferenciável e dada implicitamente pela equação x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 . Mostre que x 0 x a 2 + y 0 y b 2 + z 0 z c 2 = 1 é a equação do plano tangente no ponto x 0 ,
Determine os planos que sejam tangentes ao gráfico de f x , y = x 2 + y 2 e que contenham a intersecção dos planos x + y + z = 3 e z = 0 .
Considere a função f x , y = xϕ x y onde ϕ u é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.
Considere a função f x , y = xg x 2 - y 2 , onde g u é uma função derivável de uma variável. Mostre que o plano tangente ao gráfico de a , a , f a , a passa pela origem.