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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 31

Encontre o valor exato de ∫ C x 3 y 2 z d s   , onde C é a curva com equações paramétricas x = e - t c o s   4 t   ,     y = e - t   s e n 4 t ,     z = e - t   ,         0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Vamos lá!!!

Nesse tipo de questão precisamos encontrar algumas coisas antes de ir para a integral.

A primeira coisa que vamos fazer é achar a derivada de cada coordenada paramétrica. Sabe por que?

Lá na integral temos um termo chamado de d s que é representado pela seguinte fórmula:

d s = d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Cada derivada dentro dessa raiz vai ser de uma coordenada paramétrica . Sacou?

Depois que encontramos esse valor, aí sim podemos integrar. Vamos começar?

Passo 2

Bora fazer a derivada :

x ' = - e - t c o s   4 t   - 4 e - t   s e n 4 t

y ' = - e - t 4 t   + 4 e - t c o s   4 t

z ' =   - e - t

Agora substituindo na fórmula do d s

- e - t c o s   4 t   - 4 e - t   s e n 4 t 2 + - e - t 4 t   + 4 e - t c o s   4 t   2 + - e - t 2   d t

= e - t 2 [ 4   s e n 4 t + c o s   4 t   2 + s e n 4 t - 4 c o s   4 t   2 + 1

e - t 16 s e n 2 4 t + 4 t   + s e n 2 4 t + ( 4 t )   + 1   d t

3 2   e - t   d t

Passo 3

Belezinha, a gente já sabe quem é o d s , agora precisamos encontrar x 3 y 2 z e para isso vamos substituir as coordenadas paramétricas , saca só :

A gente sabe que x   ,     y ,   e     z valem :

                  x = e - t c o s   4 t  

  y = e - t   s e n 4 t  

                                                                                      z = e - t  

substituindo :

x 3 y 2 z = e - t c o s   4 t   3 e - t   s e n 4 t 2 e - t

x 3 y 2 z = ( e - 3 t c o s 3   4 t   )   ( e - 2 t   s e n 2 4 t ) ( e - t )

x 3 y 2 z = e - 6 t c o s 3 ( 4 t )   s e n 2 ( 4 t )

Passo 4

Beleza pessoal, estamos quase chegando no final . Agora vamos juntar todas essas informações:

Recapitulando , o que nós fizemos até agora.

Achamos o valor d s

d s = 3 2   e - t   d t

e substituímos as coordenadas na função :

x 3 y 2 z = e - 6 t c o s 3 ( 4 t )   s e n 2 ( 4 t )

Agora vamos substituir essas informações na integral

∫ C x 3 y 2 z d s

Vai ficar assim:

∫ 0 2 π 3 2   e - 7 t c o s 3 4 t   s e n 2 4 t   d t

Show !!! Esse tipo de integral é daquelas bem complicadas de serem feitas a mão, então até mesmo o livro sugere utilizar uma calculadora ou algum software para achar o resultado, ok?

∫ 0 2 π 3 2   e - 7 t c o s 3 4 t   s e n 2 4 t   d t

Calculando esse valor na calculadora iremos obter o seguinte resultado:

= 172704 5632705 2   1 - e - 14 π

Resposta

172704 5632705 2   1 - e - 14 π

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Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .
Calcule ∫ γ xd x + yd y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .
Calcule ∫ γ xd x + d y + 2d z , onde γ é a interseção do paraboloidez = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t , no plano x y
Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .
Calcule ∫ γ 2 y d x + z d y + x d z , onde γ é a interseção das superfícies x 2 + 4 y 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1 , 0 , 0 para o ponto - 1 , 0,0 .