Encontre o valor exato de ∫ C x 3 y 2 z d s, onde C é a curva com equações paramétricas x = e - t c o s4 t, y = e - ts e n 4 t , z = e - t, 0 ≤ t ≤ 2 π .

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.2 - Ex. 31

Encontre o valor exato de onde é a curva com equações paramétricas .

Passo 1

Vamos lá!!!

Nesse tipo de questão precisamos encontrar algumas coisas antes de ir para a integral.

A primeira coisa que vamos fazer é achar a derivada de cada coordenada paramétrica. Sabe por que?

Lá na integral temos um termo chamado de que é representado pela seguinte fórmula:

Cada derivada dentro dessa raiz vai ser de uma coordenada paramétrica . Sacou?

Depois que encontramos esse valor, aí sim podemos integrar. Vamos começar?

Passo 2

Bora fazer a derivada :

Agora substituindo na fórmula do

Passo 3

Belezinha, a gente já sabe quem é o , agora precisamos encontrar e para isso vamos substituir as coordenadas paramétricas , saca só :

A gente sabe que valem :

substituindo :

)

Passo 4

Beleza pessoal, estamos quase chegando no final . Agora vamos juntar todas essas informações:

Recapitulando , o que nós fizemos até agora.

Achamos o valor

e substituímos as coordenadas na função :

Agora vamos substituir essas informações na integral

Vai ficar assim:

Show !!! Esse tipo de integral é daquelas bem complicadas de serem feitas a mão, então até mesmo o livro sugere utilizar uma calculadora ou algum software para achar o resultado, ok?

Calculando esse valor na calculadora iremos obter o seguinte resultado:

Resposta

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Calcule ∫ γ d x + d y + d z , onde γ é a interseção entre as superfícies y = x 2 e z = 2 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1,1 , 0 para o ponto 0,0 , 2 .

Calcule ∫ γ xd x + yd y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .

Calcule ∫ γ xd x + d y + 2d z , onde γ é a interseção do paraboloidez = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 2 y - 1 ; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ t , no plano x y

Calcule ∫ γ d x + x y d y + zd z , onde γ é a interseção de x 2 + y 2 + z 2 = 2 ,x ≥ 0 ,y ≥ 0 e z ≥ 0 , com o plano y = x ; o sentido do percurso é do ponto 0,0 , 2 para 1,1 , 0 .

Calcule ∫ γ 2 y d x + z d y + x d z , onde γ é a interseção das superfícies x 2 + 4 y 2 = 1 e x 2 + z 2 = 1 , y ≥ 0 e z ≥ 0 , sendo o sentido de percurso do ponto 1 , 0 , 0 para o ponto - 1 , 0,0 .