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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 2

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado.

Passo 1

Bom galera, pra começar a gente precisa encontrar o ponto de interseção entre as funções:

y = x

y = 4 - x 2

Pra isso substituimos y por x e resolvemos:

x = 4 - x 2

Passo 2

Belezinha, agora resolvemos a equação:

x = 4 - x 2

→ x 2 = 4 - x 2

→ 2 x 2 = 4

x = 2

Passo 3

Show de bola, agora temos nosso intervalo para calcular a integral:

0 ≤ x ≤ 2

Então nosso volume é dado por:

V = 2 π ∫ 0 2 x 4 - x 2 - x d x

→ V = 2 π ∫ 0 2 x 4 - x 2 - x 2   d x

Passo 4

Então, a gente resolve a integral:

V = 2 π ∫ 0 2 x 4 - x 2 - x 2   d x

→ V = 2 π - 1 3 - x 2 + 4 3 / 2 - x 3 3 0 2

→ V = 2 π - - 4 2 3 - - 8 3

→ V = 8 π 3 2 - 2

Resposta

V = 8 π 3 2 - 2

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