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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

4-

O sólido está situado entre os planos perpendiculares ao eixo x em x = - 1 e x = 1 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x entre esses planos são quadrados cujas diagonais se estendem ao semicírculo y = - 1 - x 2 ao semicírculo y = 1 - x 2 .

Passo 1

A ideia dessa questão é a mesma que a da questão anterior só que invés de ser a aresta de um quadrado é a diagonal da mesma.

Como se estivéssemos indo do quadrado laranja para o verde

Passo 2

A área de um quadrado é dada por:

A = a 2

Onde a é o lado de um lado do quadrado, e sua diagonal pode ser dada por:

d = a 2

Logo a área do quadrado em função da diagonal pode ser dada por:

A = d 2 2

Basta elevar ao quadrado a diagonal e retirar a constante.

E pela simetria podemos calcular o tamanho da aresta da mesma forma que na questão anterior:

y = 1 - x 2  

A = 1 - x 2 - - 1 - x 2 2 2

A = 4 ( 1 - x 2 ) 2 = 2 ( 1 - x 2 )

Passo 3

Como o intervalo de x varia de -1 até 1 temos que se integrarmos a área acharemos o volume formada nessa região.

∫ A =   ∫ - 1 1 2 1 - x 2 d x

V = 2 x - x 3 3 - 1 1

V = 2 1 - 1 3 - 2 - 1 + 1 3 = 2 2 3 - 2 - 2 3

V = 4 3 + 4 3 = 8 3

Resposta

V = 8 3

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