Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

c) f(x) = raiz(R^2 - x^2), -R <= x <= R, R > 0

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve a área de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 1 + d f x d x 2 d x

Assim a priemira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d R 2 - x 2 d x = - 2 x 2 R 2 - x 2 = - x R 2 - x 2

Agora substituímos:

∫ - R R 1 + - x R 2 - x 2 2 d x = ∫ - R R 1 + x 2 ( R 2 - x 2 ) d x = ∫ - R R x 2 + R 2 - x 2 ( R 2 - x 2 ) d x

∫ - R R R 2 ( R 2 - x 2 ) d x = ∫ - R R R 2 ( R 2 - x 2 ) d x = ∫ - R R R R 2 - x 2 d x

Depois de todo esse algebrismo vamos resolver essa integral!

Passo 2

∫ - R R R R 2 - x 2 d x

Para esse caso podemos usar substituição trigonométrica:

Considere o triângulo acima porém com hiopotenusa R, Cateto adjacente a θ igual a R 2 - x 2 e cateto oposto igual a x . Com isso teremos as seguintes relações:

sec ⁡ θ = R R 2 - x 2   e sin ⁡ θ = x R → d x = R cos ⁡ θ d θ

Fazendo as substituições necessárias:

∫ sec ⁡ θ R cos ⁡ θ d θ = ∫ R cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ R d θ = R θ

Lembrando que se x = R sin ⁡   θ → θ = sin - 1 ⁡ x R

R θ = R sin - 1 ⁡ x R R - R = R sin - 1 ⁡ R R - sin - 1 ⁡ - R R = R sin - 1 ⁡ 1 - sin - 1 ⁡ - 1 =

R π 2 - - π 2 = R π

Resposta

L = ∫ - R R R R 2 - x 2 d x = R π

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