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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 3b

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

b ) f (x) = e^x , 0 <= x <= 1

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve o comprimento da curva, como sabemos ela é:

int_a^b sqrt(1 + [(d (f (x)))/(d x)]^2) d x

Assim a priemira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

(d (f (x)))/(d x) = (d (e^x))/(d x) = e^x

Agora substituímos:

int_0^1 sqrt(1 + [e^x]^2) d x = int_0^1 sqrt(1 + e^(2 x)) d x

Vamos resolver essas integrais!

Passo 2

Vamos aplicar a substituição 2 x = u -> 2 d x = d u

int_0^2 (sqrt(1 + e^u) d u)/(2) = (1)/(2) int_0^2 sqrt(1 + e^u) d u

Outra substituição necessária é: 1 + e^u = v^2 -> 2 v d v = e^u d u , porém reorganizando, vemos que e^u = v^2 - 1 -> 2 v d v = (v^2 - 1) d u -> (2 v d v)/((v^2 - 1)) = d u , substituindo:

(1)/(2) int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) sqrt(v^2) (2 v d v)/((v^2 - 1)) = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (v^2)/((v^2 - 1)) d v

Seria muito interessante se tivéssemos o mesmo termo em cima e em baixo, daí cortávamos e tudo ficaria mais fácil, então que tal subtrairmos 1 de cima?

Mas é claro que teremos que somar também, vai ficar assim:

int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (v^2)/((v^2 - 1)) d v = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (( ( v^2 - 1 ) + 1 ))/((v^2 - 1)) d v = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) 1 d v + int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v^2 - 1)) d v

Ok, agora temos uma que é fácil de calcular, mas a segunda ainda tá bem estranha, Porém podemos fatorar esse termo:

int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v^2 - 1)) d v = int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v - 1) (v + 1)) d v

E usar a integração por frações parciais:

(1)/((v - 1) (v + 1)) = (A)/(v - 1) + (B)/(v + 1) -> 1 = A (v + 1) + B ( v - 1 )

Para evitar muito algebrismo vamos fazer assim: A gente pega onde cada termo zera e substituímos em v, fica bem mais rápido. No nosso caso temos que zera em v = 1 e v = - 1

v = 1 -> 1 = A (1 + 1) + B (1 - 1) -> 1 = 2 A -> A = (1)/(2)

v = - 1 -> A (- 1 + 1) + B (- 1 - 1) = 1 -> - 2 B = 1 -> B = - (1)/(2)

Voltando para integral, teremos:

int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v - 1) (v + 1)) d v = (1)/(2) int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v - 1)) d v - (1)/(2) int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v + 1)) d v =

(1)/(2) [ln |v - 1| - ln |v + 1|] (sqrt(1 + e^2))/(sqrt(2)) = (1)/(2) [ln |(v - 1)/(v + 1)|] (sqrt(1 + e^2))/(sqrt(2))

= (1)/(2) [ln |(sqrt(1 + e^2) - 1)/(sqrt(1 + e^2) + 1)| - ln |(sqrt(2) - 1)/(sqrt(2) + 1)|] = (1)/(2) [ln |((sqrt(1 + e^2) - 1) (sqrt(2) + 1))/((sqrt(1 + e^2) + 1) (sqrt(2) - 1))|]

Voltando a integral completa:

int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) 1 d v + int_(sqrt(2))^(sqrt(1 + e^2)) (1)/((v^2 - 1)) d v = [v] (sqrt(1 + e^2))/(sqrt(2)) + (1)/(2) [ln |((sqrt(1 + e^2) - 1) (sqrt(2) + 1))/((sqrt(1 + e^2) + 1) (sqrt(2) - 1))|] =

= sqrt(1 + e^2) - sqrt(2) + (1)/(2) [ln |((sqrt(1 + e^2) - 1) (sqrt(2) + 1))/((sqrt(1 + e^2) + 1) (sqrt(2) - 1))|] =

Resposta

int_0^1 sqrt(1 + e^(2 x)) d x = sqrt(1 + e^2) - sqrt(2) + (1)/(2) [ln |((sqrt(1 + e^2) - 1) (sqrt(2) + 1))/((sqrt(1 + e^2) + 1) (sqrt(2) - 1))|]

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