Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 2
Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.
,
Passo 1
Bom, essa é uma questão introdutória sobre áreas de superfície de revolução: é pedido apenas para escrever a integral que fornecerá a área, mas não vamos precisar calcular ela (ufa né?). Além disso, devemos escrever tanto a expressão considerando a rotação em torno do eixo x (item a) como em torno do eixo y (item b). Para isso, é sempre bom fazer um esboço da curva né?
Observe que quando varia de até , vai de até .
Passo 2
Em torno do eixo x, a fórmula para a integral é
Calculando , obtemos
Assim,
Desta forma, a integral será
Passo 3
Para a rotação em torno do eixo y, a integral é dada por
onde é dado como função de . Assim, precisamos inverter a função para escrever como função de .
Todavia, neste caso, é impossível inverter a equação e escrever como função de . Note que eu não estou falando que a inversa não existe, ela existe pois a função é claramente bijetora no intervalo, estou apenas falando que com as funções que conhecemos, não conseguimos isolar na equação dada para a função! Assim, é impossível escrever essa integral.
Resposta
a)
b) Impossível escrever a integral.