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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 47

Use um computador para desenhar a superfície, do plano tangente e da reta normal na mesma tela. Escolha o domínio cuidadosamente para evitar planos verticais estranhos. Escolha um ponto de vista que permita uma boa visualização de todos os 3 objetos.

x y + y z + z x = 3

1 , 1 , 1

Passo 1

Oie, essa atividade exige de a gente utilizar um software gráfico.

Iremos utilizar o GeoGebra para resolver essa, ele é gratuito e online, ajuda bastante.

Pelo problema:

F x , y , z = x y + y z + z x - 3

E para encontrarmos o plano tangente a uma superfície w = f x , y , z em um ponto P x 0 , y 0 , z 0 nós precisamos utilizar a seguinte equação:

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E para encontrarmos a reta normal ao ponto P x 0 , y 0 , z 0 a gente usa a formula:

x - x 0 f x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 f y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 f z x 0 , y 0 , z 0

Então veja que precisaremos encontrar as derivadas parciais da nossa função. Depois com as equações em mãos, basta que coloquemos elas no GeoGebra 3 D que ele plota tudo para a gente.

Passo 2

Vamos então as derivadas parciais:

F x , y , z = x y + y z + z x

f x = y + z

E temos que:

f y = x + z

E por último:

f z = x + y

E agora iremos calcular a derivada parcial em P :

f x 1 , 1,1 = 2

f y 1 , 1 , 1 = 2

f z 1 , 1 , 1 = 2

O plano tangente será então:

f x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + f y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + f z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

2 ( x - 1 ) + 2 ( y - 1 ) + 2 ( z - 1 ) = 0

Realizando os produtos:

x + y + z = 3

Agora a gente vai encontrar a equação da reta normal:

x - x 0 f x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 f y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 f z x 0 , y 0 , z 0

x - 1 2 = y - 1 2 = z - 1 2

Passo 3

Vamos então plotar o nosso gráfico no GeoGebra:

Veja que basta colocarmos as equações no GeoGebra que ele cuida de plotar para a gente:

Resposta

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41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado. 44. x y + y z + z x = 5 ,1 ,2 ,1
41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado. 41. 2 x - 2 2 + y - 1 2 + z - 3 2 = 10 ,3 ,3 ,5
41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado. 43. x y 2 z 3 = 8 ,2 ,2 ,1
41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado. 45. x + y + z = e x y z ,0 ,0 ,1
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. y = x 2 ; P 0 1,1 ,P 1 2,4