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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 27

Desenhe o campo vetorial gradiente de f juntamente com um mapa de contorno de f . Explique como eles estão relacionados entre si.

f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + 2 y 2

Passo 1

Faaala, galeraa!

Nessa questão, temos uma função de duas variáveis:

f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + 2 y 2

E precisamos usar um software (no caso, vai ser o Mathematica) pra plotar o campo vetorial gradiente e o mapa de contorno dessa função.

Vamos lembrar que o gradiente é:

∇ f = f x   i ^ + f y   j ^

Então vamos começar calculando as derivadas parciais pra determinar quem é o gradiente.

Daí, vamos colocar tudo no Mathematica e plotar!

Feito o desenho, a gente vai analisar como as os vetores (do gradiente) e as curvas de nível (do mapa de contorno) se relacionam.

Passo 2

Pra calcular as derivadas parciais derivamos em função de uma variável e a outra se mantém constante.

Primeiro em função de x , com y constante:

f x = ∂ ln ⁡ 1 + x 2 + 2 y 2 ∂ x

Usando a regra da cadeia:

= ∂ ln ⁡ 1 + x 2 + 2 y 2 ∂ 1 + x 2 + 2 y 2 ∙ ∂ 1 + x 2 + 2 y 2 ∂ x

= 1 1 + x 2 + 2 y 2 ∙ 2 x

Agora em função de y , considerando y como constante:

f y = ∂ ln ⁡ 1 + x 2 + 2 y 2 ∂ y

Usando de novo a regra da cadeia:

= ∂ ln ⁡ 1 + x 2 + 2 y 2 ∂ 1 + x 2 + 2 y 2 ∙ ∂ 1 + x 2 + 2 y 2 ∂ y

= 1 1 + x 2 + 2 y 2 ∙ 4 y

Então:

∇ f = 2 x 1 + x 2 + 2 y 2   i ^ + 4 y 1 + x 2 + 2 y 2   j ^

Passo 3

Pra plotar isso no Mathematica, vamos usar três comandos:

  • VectorPlot para desenhar o campo vetorial
  • ContourPlot para desenhar o mapa de contorno
  • Show para mostrar os dois desenhos ao mesmo tempo

Juntando os três fica assim:

Precisamos colocar alguns componentes dentro do comando pra deixar o gráfico mais fácil de ver.

O retorno do software é esse aqui:

Passo 4

Agora vamos analisar esse desenho pra ver a relação entre os dois.

Percebe que os vetores apontam no sentido da região rosa para a região azul. Se olharmos pra legenda, isso quer dizer que os vetores estão na direção de crescimento de f .

Além disso, os vetores são todos perpendiculares às curvas de nível.

Resposta

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