Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 41
41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.
41.
Passo 1
Oieee, vamos resolver essa atividade.
A gente precisa encontrar aqui o plano tangente e a reta normal a superfície:
No ponto:
A equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado pode ser dada da seguinte forma, galera:
Onde:
Veja então que precisaremos calcular as derivadas parciais aqui. A equação da reta normal a superfície em um ponto genérico será dada por:
Vamos partir para os cálculos então!
Passo 2
a) Para encontrarmos uma equação do plano tangente, devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:
No qual é o ponto que nos foi dado e são as derivadas parciais que devemos encontrar. Descobrindo quem são essas derivadas parciais no ponto que nos foi dado:
Temos a nossa função:
Derivando em relação a e mantendo as outras variáveis como constantes:
Aplicando o ponto dado na nossa derivada parcial:
Derivando em relação à e mantendo as outras variáveis como constantes:
Derivando em relação à e mantendo as outras variáveis como constantes:
Passo 3
Tudo bem, agora que descobrimos as derivadas parciais no ponto vamos substituir os valores na expressão do passo , saca só:
Sendo nosso ponto :
Realizando o produto:
Simplificando a gente encontra:
Que é a equação do plano tangente!
Passo 4
b) Já para encontrarmos uma equação da reta normal, devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:
Como já calculamos tudo nos passos anteriores, fica tranquilão determinar essa equação da reta normal, se liga:
E está aí a equação da reta normal!
Resposta
a)
b)