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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 26

Use coordenadas esféricas.

Calcule o valor de

∭ E x 2 + y 2 + z 2 d V

Onde E fica acima do cone z = x 2 + y 2 e entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Vamos lá pra mais uma questão bomba, galera!

Utilizando coordenadas esféricas, a questão pede o valor dessa integral aqui, ó:

∭ E x 2 + y 2 + z 2 d V

E nos deu informações sobre a região E , que fica acima do cone

z = x 2 + y 2

E entre duas esferas:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

x 2 + y 2 + z 2 = 4

Para resolver essa questão vamos precisar usar as equações de transformação para coordenadas esféricas:

x = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ

  y = ρ s e n   ϕ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

  x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

ρ , θ , ϕ

Onde ρ é a distância da origem ao ponto, θ é o ângulo formado em relação ao eixo x e ϕ é o ângulo formado em relação ao eixo z.

Showw? :o

Passo 2

Analisando a região dada no enunciado, com a restrição dada referente ao cone, temos que:

ϕ ≤ π 4

Com as descrições referentes a esfera, temos que:

1 ≤ ρ ≤ 2

θ não possui nenhuma restrição, logo

0 ≤ θ ≤ 2 π

Podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:

∭ E x 2 + y 2 + z 2 ⏟ ρ d V

∫ 0 π 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d θ d ϕ

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ 3 s e n   ϕ   d ρ d θ d ϕ

Passo 3

Uma técnica que podemos utilizar é separar as integrais conforme suas variáveis.

Sendo assim, temos:

∫ 0 π / 4 s e n   ϕ   d ϕ ∫ 0 2 π d θ ∫ 1 2 ρ 3 d ρ

Resolvendo simultaneamente a integral para as três coordenadas, temos:

- cos ⁡ ϕ 0 π / 4       θ 0 2 π       ρ 4 4 1 2

Substituindo os limites de integração:

- 2 2 + 1 ⋅ 2 π - 0 ⋅   2 4 4 - 1 4 4

2 - 2 2 2 π 15 4

Organizando os termos, chegaremos ao nosso resultado final:

15 π 2 - 2 4

Lindo demais, né 😉

Resposta

∫ ∫ ∫ x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ 3 s e n   ϕ   d ρ d θ d ϕ = 15 π 4 2 - 2

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Utilize as coordenadas esféricas.Encontre o volume da parte da bola ρ ≤ a que está entre os cones ϕ = π / 6 e ϕ = π / 3 .
Mostre que ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 + y 2 + z 2e - x 2 + y 2 + z 2d xd yd z = 2 π (A integral imprópria tripla é definida como o limite da integral tripla sobre uma esfera sólida quando o raio da e
Utilize coordenadas esféricas.Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 , acima do plano x y e abaixo do cone z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 ∫ x 2 + y 2 2 - x 2 - y 2 x yd zd yd x
Utilize as coordenadas esféricas.a) Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .b) Encontre o centroide do sólido da parte (a).