Use coordenadas esféricas.Calcule o valor de ∭ E x 2 + y 2 + z 2 d V Onde E fica acima do cone z = x 2 + y 2 e entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

∫ ∫ ∫ x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 ρ 3 s e nϕd ρ d θ d ϕ = 15 π 4 2 - 2

Enunciado

Vamos lá pra mais uma questão bomba, galera!

Utilizando coordenadas esféricas, a questão pede o valor dessa integral aqui, ó:

E nos deu informações sobre a região , que fica acima do cone

E entre duas esferas:

Para resolver essa questão vamos precisar usar as equações de transformação para coordenadas esféricas:

Onde é a distância da origem ao ponto, é o ângulo formado em relação ao eixo x e é o ângulo formado em relação ao eixo z.

Showw? :o

Analisando a região dada no enunciado, com a restrição dada referente ao cone, temos que:

Com as descrições referentes a esfera, temos que:

não possui nenhuma restrição, logo

Podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:

Uma técnica que podemos utilizar é separar as integrais conforme suas variáveis.

Sendo assim, temos:

Resolvendo simultaneamente a integral para as três coordenadas, temos:

Substituindo os limites de integração:

Organizando os termos, chegaremos ao nosso resultado final:

Lindo demais, né 😉