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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 25

Use coordenadas esféricas.

Calcule ∭ E x e x 2 + y 2 + z 2 d V , onde E é a porção da bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.

Passo 1

Fala, galerinha! Tranquilo?

A questão quer o valor da integral:

∭ E x e x 2 + y 2 + z 2 d V

onde E é a porção da bola unitária

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

que fica no primeiro octante.

O que falta pra gente conseguir resolver nossa integral tripla são os limites de integração da região E . Então de acordo com a descrição da região E dada no enunciado nós vamos achar nossos limites de integração usando coordenadas esféricas, cuja a relação com coordenadas retangulares é:

x = ρ   s e n ϕ cos ⁡ θ

y = ρ   s e n ϕ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ ϕ

E:

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ  

Também usamos a equação:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Vamos ver como fica essa resolução!

Passo 2

Vamos começar achando nossos limites de integração em coordenadas polares:

E é a porção da bola unitária

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Então é uma esfera de raio ρ = 1 . Portanto:

0 ≤ ρ ≤ 1

Como estamos considerando somente o primeiro octante, vamos ter somente um quadrante ocupado no plano:

0 ≤ θ ≤ π 2

Em relação ao eixo z , teremos somente a metade positiva da esfera no primeiro octante:

0 ≤ ϕ ≤ π 2

Como para coordenadas esféricas temos:

x = ρ   s e n ϕ cos ⁡ θ

E:

ρ 2 = x 2 + y 2 + z 2

Nossa função será:

x e x 2 + y 2 + z 2 = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ e ρ 2

E por fim, lembramos que:

d V = ρ 2   s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ  

Prontinho, estão aqui nossos limites de integração e nossa integral em coordenadas esféricas:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ e ρ 2 ρ 2 s e n   ϕ   d ρ d θ d ϕ

Juntando potências de mesma base:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 s e n 2   ϕ cos ⁡ θ d ρ d θ d ϕ

Passo 3

Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:

∫ 0 π / 2 s e n 2 ϕ d ϕ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 1 ρ 3 e ρ 2 d ρ

Das relações fundamentais da trigonometria, temos:

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:

∫ 0 π / 2 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 ϕ ) d ϕ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ ∫ 0 1 e ρ 2 ρ 3 d ρ

Passo 4

Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:

1 2 ϕ - 1 4 s e n   2 ϕ 0 π / 2 s e n θ 0 π / 2 - 1 2 e ρ 2 + 1 2 ρ 2 e ρ 2 0 1

Aplicando os limites de integração:

π 4 - 0 1 - 0   - 1 2 e + 1 2 e - - 1 2 + 0 = π 4 1 1 2

Sendo assim, temos que:

∫ ∫ ∫ x e x 2 + y 2 + z 2 d V = π 8

Resposta

∫ ∫ ∫ x e x 2 + y 2 + z 2 d V = π 8

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