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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 44

A latitude e a longitude de um ponto P no hemisfério norte estão relacionadas com as coordenadas esféricas ρ ,   θ ,   ϕ como a seguir. Tomamos a origem como o centro da Terra e o eixo z passando pelo norte. O eixo x   positivo passa pelo ponto onde o meridiano principal (meridiano de Greenwich) intercepta o equador. Então a latitude de P é α = 90 ° - ϕ e a longitude é β = 360 ° - θ . Encontre a distância sobre um círculo máximo de Los Angeles (lat 36,06 ° N , long 118,25°W) a Montreal (lat 45,5 °   N long 73,60 ° W ). Tome o raio da Terra como 6730 k m (Um círculo máximo é o círculo de interseção de uma esfera com um plano que passe pelo centro da esfera.)

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Relembrando que um ponto no espaço em coordenadas esféricas é definido como:

x = ρ s e n ϕ c o s θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ c o s ϕ

Vamos determinar primeiro qual é o ponto que representa a cidade de Los Angeles:

x = ρ s e n ( 36,06 ) c o s ⁡ ( 118,25 ) y = ρ s e n 36,06 s e n ( 118,25 ) z = ρ c o s ⁡ ( 36,06 )

Assim o ponto de Los Angeles é: ρ ( - 0,278 ;   0,518 ;   0,80   )

Passo 2

Vamos determinar primeiro qual é o ponto que representa a cidade de Montreal:

x = ρ s e n ( 45,50 ) c o s ⁡ ( 73,60 ) y = ρ s e n 45,50 s e n ( 73,60 ) z = ρ c o s ⁡ ( 45,50 )

Assim o ponto de Montreal é: ρ ( 0,201 ;   0,684 ;   0,70   )

Passo 3

Legal! O próximo passo é determinar a distância entre dois pontos. Em coordenadas retangulares é:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2

E substituindo os valores encontramos temos:

d = ρ - 0,278 - 0,201 2 + 0,518 - 0,684 2 + 0,80 - 0,70 2

d = ρ 0,516 = 6730.0,516 = 3477 k m

Resposta

d = 3477 k m

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