Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 23
Use coordenadas esféricas.
Calcule , onde é E fica entre as esferas e .
Passo 1
Oi, galera! Tudo bem?
A questão quer o valor da integral:
onde está entre as esferas
e
no primeiro octante.
Bom, vemos que o que falta na nossa integral são os limites de integração da região . Então de acordo com a descrição da região dada no enunciado nós vamos achar nossos limites de integração usando coordenadas esféricas, cuja a relação com coordenadas retangulares é:
E:
Também usamos a equação:
Bora lá!
Passo 2
Podemos começar escrevendo nossa função em coordenadas esféricas.
Como:
Teremos:
Então vamos encontrar os limites de integração da nossa região .
Passo 3
Vamos entender nossa região , onde está entre as esferas
e
Usando nossa equação:
Temos que nossa região está entre:
E:
Tirando a raiz quadrada nessas duas equações temos que:
Como estamos considerando nossas esferas inteiras, teremos para
Já para temos o ângulo partindo do eixo positivo até o eixo negativo, já que temos as esferas inteiras:
Usando também:
Podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico, sendo assim:
Elevando todos os termos dos parênteses ao quadrado:
Usando a relação fundamental
podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Das relações fundamentais da trigonometria, temos:
sendo assim, lançando mão dessa relação, podemos reescrever a integral como:
Passo 5
Antes de resolver a integral, devemos notar que, para , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo
Derivando :
e a integral se torna:
Nesse caso, temos então, resolvendo a integral em , temos:
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Aplicando os limites de integração:
Sendo assim, temos que: