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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 31

Use coordenadas esféricas.

  1. Encontre o centroide do sólido do Exemplo 4 (assuma densidade constante K ).
  2. Encontre o momento de inércia ao redor do eixo z para esse sólido.

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo joia?

Nossa questão tem duas partes sobre o Exemplo 4: sólido que fica entre o cone z = x 2 + y 2   e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z .

A parte a) pede o centroide desse sólido, que a gente pode achar usando a equação:

x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m

Onde m é:

m = ∫ ∫ ∫ K d V

E os momentos M em torno de cada eixo:

M y z = ∭ E x   ρ   d V

M x z = ∭ E y   ρ   d V

M x y = ∭ E z   ρ   d V

A parte b) quer o momento de inércia em torno do eixo z , que podemos achar através de:

I z = ∫ ∫ ∫ E   x 2 + y 2 K d V

Passo 2

  1. Encontre o centróide do sólido do Exemplo 4 (assuma densidade constante K )

    2. Olhando o sólido do Exemplo 4, podemos facilitar nossa vida ao perceber que a superfície é simétrica co relação aos eixos x e y , e, dessa forma, temos:

    M y z = M x z = 0

    Temos que a massa do sólido é dada por:

    m = ∫ ∫ ∫ K d V

    Como K é constante, podemos tira-la para fora da integral, ficanco com:

    m = K ∫ ∫ ∫ d V

    E, o próprio Exemplo 4 já nos fornece o valor da integral do volume do sólido, que é π / 8 , então, substituindo esse valor na equação da massa, temos:

    m = π 8 K

    Passo 3

    Agora devemos calcular o momento de massa com relação ao eixo z do sólido, para isso, fazemos:

    M x y = ∫ ∫ ∫ E   z K d V

    Através dos limites de integração fornecidos no exemplo 4, podemos reescrever a integral como:

    M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 cos ⁡ ϕ ρ cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ 0 cos ⁡ ϕ ρ 3 cos ⁡ ϕ s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

    Resolveremos essa integral de maneira iterada, começando por ρ , temos:

    M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n   ϕ   c o s ϕ 1 4 ρ 4 ρ = 0 ρ = cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

    = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n   ϕ   c o s ϕ 1 4 cos 4 ⁡ ϕ - 0 d ϕ d θ

    Simplificando, obtemos:

    M x y = 1 4 K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n   ϕ cos 5 ⁡ ϕ d ϕ d θ

    Agora, separando as integrais em função de suas variáveis, podemos escrever:

    M x y = 1 4 K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 4 s e n ϕ cos 5 ⁡ ϕ d ϕ

    Passo 4

    Antes de resolver a integral, devemos notar que, para ϕ , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

    ∫ cos x ⁡ θ s e n ⁡ θ

    São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s   θ → d u = - s e n   θ e a integral se torna:

    ∫ - u x d u = - u x + 1 x + 1 = - cos x ⁡ θ x + 1

    Nesse caso, temos x = 5 , então, resolvendo a integral em ϕ , temos:

    ∫ 0 π / 4 s e n ϕ cos 5 ⁡ ϕ d ϕ = - 1 6 cos 6 ⁡ ϕ 0 π / 4

    Resolvendo para as duas variáveis simultaneamente, temos:

    M x y = 1 4 K θ 0 2 π - 1 6 cos 6 ⁡ ϕ 0 π / 4

    M x y = 1 4 K 2 π - 0 - 1 6 2 2 6 - - 1 6 1 6

    M x y = 1 2 K π 7 48 → M x y = 7 π 96 K

    Dessa forma, o centróide é dado por:

    x - , y - , z - = M y z m , M x z m , M x y m = ( 0 π 8 K , 0 π 8 K , 7 π K 96 π 8 K )  

    x - , y - , z - = 0,0 , 7 12

    Passo 5

  2. Encontre o momento de inércia ao redor do eixo z para esse sólido.

Nós sabemos que o momento de inércia ao redor do eixo z será dado por:

I z = ∫ ∫ ∫ E   x 2 + y 2 K d V

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ ,   y = ρ s e n   ϕ   s e n   θ ,   z = ρ cos ⁡ ϕ ,   x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2

Substituindo as relações de transformação na equação anterior e aplicando os intervalos de integração vistos no exemplo 4, temos:

I z = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 cos ⁡ ϕ ρ s e n   ϕ cos ⁡ θ 2 + ρ s e n   ϕ   s e n   θ 2 ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

I z = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 cos ⁡ ϕ ρ 2 s e n 2 ϕ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ ρ 2 s e n   ϕ d ρ d ϕ d θ

Da relação fundamental da trigonometria, temos s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 , e podemos simplificar a integral para:

I z = K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 cos ⁡ ϕ ρ 4 s e n 3   ϕ d ρ d ϕ d θ

Resolvendo essa integral de maneira iterada começando por ρ , temos:

= K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n 3   ϕ   1 5 ρ 5 ρ = 0 ρ = cos ⁡ ϕ d ϕ d θ

= K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n 3   ϕ   1 5 cos 5 ⁡ ϕ - 0 d ϕ d θ

Simplificando, obtemos:

I z = 1 5 K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n 3   ϕ cos 5 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Passo 3

Agora iremos usar a relação trigonométrica s e n 2 x = ( 1 - cos 2 ⁡ x ) para reescrever a integral acima:

I z = 1 5 K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n   ϕ ( 1 - cos 2 ⁡ ϕ ) cos 5 ⁡ ϕ d ϕ d θ

E, simplificando, temos:

I z = 1 5 K ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 s e n   ϕ cos 5 ⁡ ϕ - s e n ϕ cos 7 ⁡ ϕ d ϕ d θ

Agora, separando as integrais em função de suas variáveis, podemos escrever:

I z = 1 5 K ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 4 s e n   ϕ cos 5 ⁡ ϕ - s e n ϕ cos 7 ⁡ ϕ d ϕ

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para ϕ , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

∫ cos x ⁡ θ s e n ⁡ θ

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s   θ → d u = - s e n   θ e a integral se torna:

∫ - u x d u = - u x + 1 x + 1 = - cos x ⁡ θ x + 1

Nesse caso, temos x = 5 e x = 7 , então, resolvendo a integral em ϕ , temos:

∫ 0 π / 4 s e n   ϕ cos 5 ⁡ ϕ + s e n ϕ cos 7 ⁡ ϕ d ϕ = - 1 6 cos 6 ⁡ ϕ + 1 8 cos 8 ⁡ ϕ 0 π / 4

Resolvendo para as duas variáveis simultaneamente, temos:

I z = 1 5 K θ 0 2 π - 1 6 cos 6 ⁡ ϕ + 1 8 cos 8 ⁡ ϕ 0 π / 4

I z = 1 5 K 2 π - 0 - 1 6 2 2 6 + 1 8 2 2 8 - - 1 6 1 6 + 1 8 1 8

I z = 1 5 K 2 π 11 384 → I z = 11 π 960 K

Resposta

x - , y - , z - = 0,0 , 7 12

I z = 11 π 960 K

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Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x e x 2 + y 2 + z 2 ) d V , onde E é a porção da bola unitáriax 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( x 2 + y 2 ) d V , onde E está entre as esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9 ;
Mude de coordenadas retangulares para esféricas. ( 0 , - 2,0 ) ( - 1,1 , - 2 )
Utilize coordenadas esféricas.Calcule ∭ E ( y 2 ) d V , onde E está entre x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 e z ≥ 0 ;