Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 24
Use coordenadas esféricas.
Calcule , onde é o hemisfério sólido , .
Passo 1
E aí, meus amigos! Tudo na paz?
A questão quer o valor da integral:
onde é o hemisfério sólido
Bom, vemos que o que falta na nossa integral são os limites de integração da região . Então de acordo com a descrição da região dada no enunciado nós vamos achar nossos limites de integração usando coordenadas esféricas, cuja a relação com coordenadas retangulares é:
E:
Também usamos a equação:
Vamos passo a passo!
Passo 2
Analisando a região dada no enunciado, notamos que ela será uma meia esfera (devido a restrição em ) e terá raio menor ou igual a 3, com isso, podemos reescrever a integral já com os limites de integração dados e transformando as coordenadas para o sistema esférico:
Como o raio é 3, teremos:
Como se trata de uma meia esfera nosso ângulo vai até a metade no plano:
Em relação ao eixo , temos metade da esfera na parte positiva e metade na parte negativa, então:
Como para coordenadas esféricas temos:
Nossa função se torna:
E por fim, lembramos que:
Prontinho, estão aqui nossos limites de integração e nossa integral em coordenadas esféricas:
Elevando todos os termos dentro dos parênteses ao quadrado:
Juntando as potências de mesma base:
Passo 3
Podemos agora separar as integrais conforme suas variáveis, sendo assim, temos:
Das relações fundamentais da trigonometria, temos:
sendo assim, lançando mão dessas relações, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Antes de resolver a integral, devemos notar que, para , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo
Derivando :
e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral em , temos:
Resolvendo simultaneamente a integral para as 3 coordenadas, temos:
Aplicando seus respectiva=os limites de integração:
Sendo assim, temos que: