Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
Passo 1
Faaaala meu povo, tudo bem!? Vamos começar!
Nesse exercício, devemos calcular a integral abaixo a transformando em coordenadas esféricas:
Vish, e agora? Calma, juntos vamos desvendar essa!!
O primeiro passo é lembrar como é escrito em coordenadas esféricas. Veja abaixo:
Lembre-se que em coordenadas esféricas o , fica:
Agora devemos olhar para os limites de integração, e repare nos limites da variável :
Então temos:
Essa é a equação de uma esfera centrada em e com raio de .
Como não tem nenhuma restrição que a esfera está em um quadrante ou octante especifico, consideramos a variação de ângulo para uma esfera completa.
Já o nosso varia de:
Então:
Que é um círculo com raio de e centrado em .
Agora é só você substituir as variáveis em coordenadas esféricas no integrando:
Feito isso, é só montar sua integral com os limites e resolvê-la.
Bora lá!!!
Passo 2
Vamos relembrar a integral que queremos passar para coordenadas esféricas:
Olhando para os intervalos de , temos:
Isolando as variáveis de um lado obtemos:
E podemos reescrever como:
Utilizando as coordenadas:
Então o intervalo de
Já o intervalo para vai do eixo positivo de para a superfície. Então:
E por último, circula por todo :
Passo 3
Então, já sabemos os intervalos de integração em coordenadas esféricas. Agora precisamos transformar o integrando nessas coordenadas:
Bom, sabemos que as relações de transformação em coordenadas esféricas são:
Sendo assim o integrando fica desse jeito, saca só:
Simplificando temos:
Utilizando da relação trigonométrica:
Vamos ter que:
Novamente utilizando a relação trigonométrica, concluímos que:
E o ? Em coordenadas esféricas temos:
Agora é só substituir tudo isso na integral e resolver! Bora lá?
Passo 4
Substituindo, vamos ter a seguinte integral:
Agora vamos começar a integrar. Lembra que começamos integrando de dentro para fora, e tudo que não depende da variável de integração é uma constante.
Integrando em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração temos:
Passo 5
Agora restou fazer as integrações nos ângulos e :
Integrando logo a mais externa:
Realizando uma substituição: