Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.

∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - x 2 4 2 - x 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y

Passo 1

Faaaala meu povo, tudo bem!? Vamos começar!

Nesse exercício, devemos calcular a integral abaixo a transformando em coordenadas esféricas:

∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - x 2 4 2 - x 2 ∫ - 4 2 - y 2 - x 2 4 2 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y

Vish, e agora? Calma, juntos vamos desvendar essa!!

O primeiro passo é lembrar como é escrito em coordenadas esféricas. Veja abaixo:

Lembre-se que em coordenadas esféricas o d V = d x d y d z , fica:

d V =   ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ   d ϕ   d θ

Agora devemos olhar para os limites de integração, e repare nos limites da variável z :

2 - 4 - y 2 - x 2 ≤ z ≤ 2 + 4 - y 2 - x 2

Então temos:

z = 2 + 4 - x 2 - y 2

z - 2 = 4 - x 2 - y 2

z - 2 2 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Essa é a equação de uma esfera centrada em 0,0 , 2 e com raio de 2 .

Como não tem nenhuma restrição que a esfera está em um quadrante ou octante especifico, consideramos a variação de ângulo para uma esfera completa.

Já o nosso y varia de:

- 4 - x 2 ≤ y ≤ 4 - x 2

Então:

y 2 + x 2 = 4

Que é um círculo com raio de 2 e centrado em 0,0 .

Agora é só você substituir as variáveis em coordenadas esféricas no integrando:

x 2 + y 2 + z 2 3 2

Feito isso, é só montar sua integral com os limites e resolvê-la.

Bora lá!!!

Passo 2

Vamos relembrar a integral que queremos passar para coordenadas esféricas:

∫ - 2 2 ∫ - 4 2 - y 2 4 2 - y 2 ∫ 2 - 4 - y 2 - x 2 2 + 4 - y 2 - x 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 d z d x d y

Olhando para os intervalos de z , temos:

2 - 4 2 - y 2 - x 2 ≤ z ≤ 2 + 4 2 - y 2 - x 2

Isolando as variáveis de um lado obtemos:

( z - 2 ) 2 +   y 2 + x 2 = 2 2

E podemos reescrever como:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 z

Utilizando as coordenadas:

ρ 2 = 4 ρ cos ⁡ ϕ

ρ = 4 cos ⁡ ϕ

Então o intervalo de ρ :

0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ ϕ

Já o intervalo para ϕ vai do eixo positivo de z para a superfície. Então:

0 ≤ ϕ ≤ π 2

E por último, θ circula por todo x :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Então, já sabemos os intervalos de integração em coordenadas esféricas. Agora precisamos transformar o integrando nessas coordenadas:

x 2 + y 2 + z 2 3 2

Bom, sabemos que as relações de transformação em coordenadas esféricas são:

x = ρ s e n ϕ c o s θ y = ρ s e n ϕ s e n θ z = ρ c o s ϕ

Sendo assim o integrando fica desse jeito, saca só:

ρ s e n ϕ c o s θ 2 + ρ s e n ϕ s e n θ 2 + ρ c o s ϕ 2 3 2

Simplificando temos:

ρ 2 s e n 2 ϕ s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ 3 2

Utilizando da relação trigonométrica:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Vamos ter que:

ρ 2 s e n 2 ϕ + ρ 2 cos 2 ⁡ ϕ 3 2

ρ 2 s e n 2 ϕ + cos 2 ⁡ ϕ 3 2

Novamente utilizando a relação trigonométrica, concluímos que:

x 2 + y 2 + z 2 3 2 = ( ρ 2 ) 3 2 = ρ 3  

E o d V ? Em coordenadas esféricas temos:

d V = ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Agora é só substituir tudo isso na integral e resolver! Bora lá?

Passo 4

Substituindo, vamos ter a seguinte integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ( ρ 3 ) ρ 2 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 5 s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Agora vamos começar a integrar. Lembra que começamos integrando de dentro para fora, e tudo que não depende da variável de integração é uma constante.

Integrando em d ρ , vamos ter:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ρ 6 6 0 4 cos ⁡ ϕ s e n ϕ d ϕ   d θ

Aplicando os limites de integração temos:

4 6 6 ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 cos 6 ⁡ ϕ s e n ϕ d ϕ   d θ

Passo 5

Agora restou fazer as integrações nos ângulos ϕ e θ :

4 6 6 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 cos 6 ⁡ ϕ s e n ϕ d ϕ   d θ

Integrando logo a mais externa:

4 6 6 ⋅ 2 π ∫ 0 π 2 cos 6 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ d ϕ  

Realizando uma substituição:

u = cos ⁡ ϕ

4 6 6 ⋅ 2 π - cos 7 ⁡ ϕ 7 0 π 2

4 6 6 ⋅ 2 π ⋅ 1 7 - cos 7 ⁡ 0 - - cos 7 ⁡ π 2

4 6 21 ⋅ π - 0 + 1 7

4 6 21 π

4096 π 21

Resposta

4096 π 21

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