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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.7 - Ex. 23

23 . ( a ) Use os dados do Exemplo 5 para achar a taxa média da mudança da temperatura em relação ao tempo.

( i ) das 8 horas da noite às 11 horas da noite.

( i i ) das 8 horas da noite às 10 horas da noite.

( i i i ) das 8 horas da noite às 9 horas da noite.

( b )   Estime a taxa instantânea da variação de T em relação ao instante 8 horas medindo a inclinação de uma tangente.

Passo 1

Olá, meu esforçado estudante. Vou te ajudar a resolver mais uma atividade hoje.

Essa atividade pede que a gente use os dados do exemplo 5 e encontremos a taxa média da mudança da temperatura em relação ao tempo, sendo que o enunciado nos da alguns intervalos de tempo.

A primeira coisa para darmos início a nossa resolução é então pegar os dados do exemplo 5:

E para encontrarmos as taxas, estaremos sempre fazendo a divisão:

∆ T ∆ x

Em que ∆ T é a variação de temperatura em graus celsius (°C) e ∆ x é a variação do tempo em horas.

Passo 2

Sem mais enrolação, vamos começar colocando os valores de T para os tempos que estão no enunciado.

Lembra que 8 h da noite é 20 h , 9 h da noite é 21 h , 10 h da noite é 22 h e 11 da noite é 23 h .

T ( 20 ) = 11,5 ° C

T ( 21 ) = 10,2 ° C

T ( 22 ) = 9,0 ° C

T ( 23 ) = 7,9 ° C

Fazendo a ( i ) taxa, que é das 8 horas da noite às 11 horas da noite.

∆ T ∆ x = T 23 - T 20 23 - 20

Substituindo os valores:

∆ T ∆ x = 7,9 ° C - 11,5 ° C 23 - 20

∆ T ∆ x = - 3,6 3

∆ T ∆ x = - 1,2 ° C h

Fazendo a ( i i ) taxa, que é das 8 horas da noite às 10 horas da noite.

∆ T ∆ x = T 23 - T 20 23 - 20

Substituindo os valores:

∆ T ∆ x = 9,0 ° C - 11,5 ° C 22 - 20

∆ T ∆ x = - 2,5 2

∆ T ∆ x = - 1,25 ° C / h

Fazendo a ( i i i ) taxa, que é das 8 horas da noite às 9 horas da noite.

∆ T ∆ x = T 21 - T 20 21 - 20

Substituindo os valores:

∆ T ∆ x = 10,2 ° C - 11,5 ° C 21 - 20

∆ T ∆ x = - 1,3 1 = - 1,3 ° C / h

Passo 3

Letra b)

Colocamos os pontos no software GeoGebra, podemos ter uma noção maior do que iremos fazer aqui:

Temos então o ponto P o ponto de tangencia, então vamos utilizar um triangulo para calcular a inclinação dessa reta tangente.

Na figura, estimamos que A seja ( 18 ,   15.5 ) e B seja ( 23 ,   6 ) . Você criar outro triangulo retângulo caso desejasse, criamos esse pois facilita nossos cálculos. Portanto, a inclinação m é

m = Δ y Δ x

6   -   15.5 23   -   18   =   1.9   C / h    

às 20:00.

Porém, qual o sinal da taxa? A taxa é negativa, pois a tangente desse ângulo é um valor negativo, já que a reta é decrescente.

Resposta

a )

( i ) taxa

- 1,2 ° C / h

( i i ) taxa

- 1,25 ° C / h

( i i i ) taxa

- 1,3 ° C / h

( b )

Taxa instantânea igual a:

- 1,9 ° C / h

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