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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 8f

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

f x = x + 3 3

Passo 1

Vamos calcular a derivada pela definição:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f x ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 3 3 - x + 3 3   ∆ x

Vamos fazer uma substituição:

t 3 =   x + ∆ x + 3

a 3 = x + 3

Assim:

t 3 =   x + ∆ x + 3 → t 3 =   a 3 + ∆ x → ∆ x = t 3 - a 3

Substituindo:

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ x + ∆ x + 3 3 - x + 3 3   ∆ x = lim t → a ⁡ t 3 - a 3 + a 3 3 - a 3 3   t 3 - a 3 =

= lim t → a ⁡ t 3 3 - a   t 3 - a 3 = lim t → a ⁡ t - a   t 3 - a 3 = lim t → a ⁡ t - a   t - a t 2 + a t + a 2 = lim t → a ⁡ 1   t 2 + a t + a 2 =

= 1   a 2 + a ⋅ a + a 2 = 1 3 a 2 = 1 3 x + 3 3 2

Resposta

f ' x = 1 3 x + 3 3 2

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