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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 43

Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade esquerda de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado.

f x = 9 - x 2 ; 0,3

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 3 - 0 n = 3 n

x k * = 3 k - 1 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 9 - 3 k - 1 n 2 3 n  

A = l i m n → ∞ ∑ k = 1 n ( 9 - 9 k 2 n 2 - 18 k n 2 + 9 n 2 3 n  

A = l i m n → ∞ 3 n ∑ k = 1 n 9 - 9 k 2 n 2 + 18 k n 2 - 9 n 2

A = l i m n → ∞ 3 n ∑ k = 1 n 9 - 9 n 2 ∑ k = 1 n k 2 + 18 n 2 ∑ k = 1 n k - 9 n 2 ∑ k = 1 n 1  

A = l i m n → ∞ 3 n 9 n - 9 n 2 n n + 1 2 n + 1 6 + 18 n 2 n n + 1 2 - 9 n 2 n  

A =   l i m n → ∞ 3 n 9 n - 18 n 6 - 27 6 - 9 6 n + 9 + 18 2 n - 9 n

A =   l i m n → ∞ 27 - 9

A = 18

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pela extremidade da esquerda😊

Resposta

A = 18

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