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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.7 - Ex. 9

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor especificado de n . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais.)

∫ 1 2 ln ⁡ x 1 + x d x , n = 10

Passo 1

  1. Temos o intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , e vamos usar n = 10 , e com f x = ln ⁡ x 1 + x temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = 2 - 1 10 = 1 10

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio temos a fórmula:

    T 10 = 1 2 ∆ x f 1 + 2 f 1,1 + 2 f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1,9 + f 2 = 1 2 ∙ 1 10 f 1 + 2 f 1,1 + 2 f 1,2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1,9 + f 2 ≈ 0,146879

    Passo 2

  2. Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 10 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    3. M 10 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 1,05 + f 1,15 + ∙ ∙ ∙ + f 1,85 + f 1,95 1 10 ≈ 0,147391

    Passo 3

  3. Com a Regra de Simpson temos:

S 10 = f 1 + 4 f 1,1 + 2 f 1,2 + 4 f 1,3 + 2 f 1,4 + 4 f 1,5 + 2 f 1,6 + 4 f 1,7 + 2 f 1,8 + 4 f 1,9 + f 2 ∆ x 3 = f 1 + 4 f 1,1 + 2 f 1,2 + 4 f 1,3 + 2 f 1,4 + 4 f 1,5 + 2 f 1,6 + 4 f 1,7 + 2 f 1,8 + 4 f 1,9 + f 2 1 3 . 1 10 ≈ 0,147219

Resposta

  1. T 10 ≈ 0,146879
  2. M 10 ≈ 0,147391
  3. S 10 ≈ 0,147219
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