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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 46

Use a definição de derivadas parciais como limites (4) para encontrar f x ( x ,   y ) e f y ( x ,   y ) .

f x , y = x x + y 2

Passo 1

Beleza, galera.

Nessa questão nós temos a função

f x , y = x x + y 2

E queremos calcular as derivadas parciais f x ( x ,   y ) e f y ( x ,   y ) usando a definição por limites.

Como primeiro passo, vamos relembrar o conceito de derivada parcial de uma função usando limites:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

Shoooow de bola! Agora é só aplicar essa definição na nossa função do enunciado. Partiu?

Passo 2

Agora que relembramos as definições de derivada parcial através do uso de limites, vamos fazer algumas continhas....

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ f x + h , y - f x , y h

Agora vamos substituir x por x + h na definição da função f :

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x + h x + h + y 2 - x x + y 2 h

Vamos ter que efetuar as operações:

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x + h ∙ x + y 2 - x ∙ x + h + y 2 x + h + y 2 ∙ x + y 2 ⋅ 1 h

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 + x y 2 + h x + h y 2 - x 2 - h x - x y 2 x + h + y 2 ∙ x + y 2 ⋅ 1 h

Alguns termos se cancelam, aí ficamos com

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ h y 2 h ∙ x + h + y 2 ∙ x + y 2

∂ f ∂ x x , y = lim h → 0 ⁡ y 2 x + h + y 2 ∙ x + y 2 = y 2 x + y 2 2

Passo 3

Vamos calcular agora ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ f x , y + h - f x , y h

Substituindo y por y + h na definição de f , obtemos:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x x + y + h 2 - x x + y 2 h

Novamente vamos abrir os termos e simplificar:

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x ∙ x + y 2 - x ∙ x + y + h 2 x + y + h 2 ∙ x + y 2 ⋅ 1 h  

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ x 2 + x y 2 - x 2 - x y 2 - 2 x y h - x h 2 x + y + h 2 ∙ x + y 2 ⋅ 1 h

∂ f ∂ y x , y = lim h → 0 ⁡ - 2 x y h - x h 2 ⏞ → 0 h ∙ x + y + h 2 ∙ x + y 2 = - 2 x y x + y 2 2

Resposta

∂ f ∂ x x , y = y 2 x + y 2 2 ;   ∂ f ∂ y x , y = - 2 x y x + y 2 2

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