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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 14

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a .

f x = 2 x + 1 ; a = 4

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos então aplicar:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 2 x + h + 1 - 2 x + 1 h =

= lim h → 0 ⁡ 2 x + 2 h + 1 - 2 x + 1 h =

= lim h → 0 ⁡ 2 x + 2 h + 1 - 2 x + 1 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 1 h 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 1 =

= lim h → 0 ⁡ 2 x + 2 h + 1 2 2 x + 2 h + 1 2 x + 1 - 2 x + 1 2 x + 2 h + 1 - 2 x + 1 2 h 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 1 =

= lim h → 0 ⁡ 2 x + 2 h + 1 - 2 x - 1 h 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 1 = lim h → 0 ⁡ 2 h h 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 1 =

= lim h → 0 ⁡ 2 2 x + 2 h + 1 + 2 x + 1 = 2 2 x + 2 ⋅ 0 + 1 + 2 x + 1 =

= 2 2 x + 1 + 2 x + 1 = 2 2 2 x + 1 = 1 2 x + 1

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = 4 .

A equação da reta tangente é do seguinte formato:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto da reta tangente à curva e f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos achar o ponto x 0 , y 0 , já temos que x 0 = 4 , vamos então aplicar esse valor em f x para achar y 0 :

y 0 = f 4 = 2 ⋅ 4 + 1 = 8 + 1 = 9 = 3

E agora vamos achar a inclinação f ' 4 , substituindo na derivada que achamos no passo 1 :

f ' 4 = 1 2 x + 1 = 1 2 ⋅ 4 + 1 = 1 8 + 1 = 1 9 = 1 3

Passo 4

Pronto, temos só que substituir os valores na equação, o ponto 4 , 3 e a inclinação f ' 4 = 1 3 :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 →

y - 3 = 1 3 x - 4 →

y - 3 = 1 3 x - 4 3 →

y = 1 3 x - 4 3 + 3 →

y = 1 3 x + - 4 + 9 3 →

y = 1 3 x + 5 3

Resposta

f ' x = 1 2 x + 1 e y = 1 3 x + 5 3

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