Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 62
Prove a parte do Teorema do Limite () se “” for substituído por “”
Passo 1
Um bom primeiro passo é a gente enunciar o teorema e substituir conforme pedido. Ele diz que, se for um número real qualquer e se e , onde é uma constante não-nula, então se e se por valores positivos de então:
Basicamente é trocar esse texto por:
Passo 2
Podemos fazer essa prova tomando um limite arbitrário:
Podemos modificar esse limite de forma a por em evidência, em cima e em baixo, a maior potência de que aparece:
Dessa forma, podemos cortar em cima e em baixo os termos em comum:
Da propriedade dos limites, podemos reescrever:
De forma que ao estabelecermos:
Podemos confirmar que:
Logo o limite do denominador é , e o denominador tende a por valores positivos. O limite do numerador é e, assim, pelo Teorema do Limite , segue que:
Conceitualmente falando, pela propriedade dos limites:
Dividindo-se por números cada vez mais próximos de e positivos, tem-se números cada vez maiores. Dividindo por exemplo por , tem-se de resultado
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)