Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 43
Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
usando a derivação logarítmica. Isso significa que iremos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação
para simplificar a expressão e tornar a derivada mais fácil de ser calculada.
Logaritmo Natural de uma Potência: A propriedade do logaritmo natural que permite separar o expoente de uma potência, isto é,
Derivada do Logaritmo Natural: A derivada do logaritmo natural de uma função, que é
utilizando a regra da cadeia.
Passo 2
Agora, vamos resolver o exercício utilizando a derivação logarítmica:
1. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
2. Usamos a propriedade do logaritmo para simplificar a expressão:
3. Derivamos ambos os lados da equação em relação a \( x \) utilizando a regra da cadeia.
4. Isolamos para encontrar a derivada.
Vamos prosseguir com os cálculos.
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação
Passo 3
Propriedade do Logaritmo:
Utilizamos a propriedade do logaritmo para separar o expoente:
Derivamos ambos os lados da equação em relação a utilizando a regra da cadeia:
Passo 4
Isolamos para encontrar a derivada:
Substituição de de Volta:
Substituímos na expressão:
Portanto, a derivada da função em relação a utilizando a derivação logarítmica é