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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 48

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = 1 t ( t + 1 ) ( t + 2 )

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ 1 t t + 1 t + 2 = ln ⁡ ( t t + 1 t + 2 - 1 ) = - ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 t + 2 = - ln ⁡ t + ln ⁡ t + 1 + ln ⁡ t + 2

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

ln ⁡ ( t ) + ln ⁡ ( t + 1 ) + ln ⁡ ( t + 2 ) ' = ln ⁡ t ' + ln ⁡ t + 1 ' + ln ⁡ t + 2 '

Passo 3

Para derivar o primeiro termo basta consultarmos a tabela das derivadas e temos que

ln ⁡ t ' = 1 t

Para derivar os demais termos vamos ter que usar a regra da cadeia. Para o primeiro temos a composição de f t = ln ⁡ t com g t = t + 1

ln ⁡ t + 1 ' = f ' g t ⋅ g ' t

Pela tabela de derivadas temos que

f ' t = 1 t

g ' t = 1

Logo,

ln ⁡ t + 1 ' = 1 t + 1

Para o segundo temos a composição de h t = ln ⁡ t com w t = t + 2

ln ⁡ t + 2 ' = h ' w t ⋅ w ' t

Pela tabela de derivadas temos que

h ' t = 1 t

w ' t = 1

Logo,

ln ⁡ t + 2 ' = 1 t + 2

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = - 1 t + 1 t + 1 + 1 t + 2

Fazendo o MMC temos que

1 y y ' = 1 t + 1 t + 1 + 1 t + 2 = - t + 1 t + 2 + t t + 2 + t t + 1 t t + 1 t + 2 = - 3 t 2 + 6 t + 1 t ( t + 1 ) ( t + 2 )

Mas, pelo enunciado y = t ( t + 1 ) ( t + 2 ) . Portanto,

y ' = - t t + 1 t + 2 ⋅ 3 t 2 + 6 t + 1 t t + 1 t + 2 = - 3 t 2 + 6 t + 1

Resposta

y ' = - 3 t 2 + 6 t + 1

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