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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 139

Use a derivação logarítmica para encontrar a derivada de y e, relação à variável apropriada.

y = sen ⁡ θ θ

Passo 1

A ideia de fazer a derivada logarítimica é lembrar essa parada de derivar logaritmo:

ln ⁡ f x ' = f ' x f x

Isso é consequência da regra da cadeia, então basicamente o que fazemos é, tascar ln na equação, derivar implicitamente e usar essa propriedade.

Derivar implicitamente é só colocar o y ' quando derivarmos qualquer coisa de y

Vamso la?

Passo 2

Aplicando ln

ln ⁡ y = ln ⁡ sen ⁡ θ θ

Vamos usar as propriedades de log para abrir tudo isso:

ln ⁡ y = θ ln ⁡ sen ⁡ θ

Tudo limpo para aplicar a derivada

Passo 3

Derivando loucamente, usando a regra do produto:

ln ⁡ y ' = θ ln ⁡ sen ⁡ θ '

ln ⁡ y ' = θ ' ln ⁡ sen ⁡ θ + θ ln ⁡ sen ⁡ θ '

Escrevendo:

θ = θ 1 2

ln ⁡ y ' = θ 1 2 ' ln ⁡ sen ⁡ θ + θ ln ⁡ sen ⁡ θ '

Voltando para a derivada

y ' y = 1 2 θ - 1 2 ln ⁡ sen ⁡ θ + θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

y ' y = ln ⁡ sen ⁡ θ 2 θ 1 2 + θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Sobrou um y ali, vamos passar para a direita multiplicando:

y ' = y ln ⁡ sen ⁡ θ 2 θ 1 2 + θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

E agora?

Calma jovem gafanhoto, vamos usar:

y = sen ⁡ θ θ

Ai nossa derivada fica:

y ' = sen ⁡ θ θ ln ⁡ sen ⁡ θ 2 θ 1 2 + θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

Resposta

y ' = sen ⁡ θ θ ln ⁡ sen ⁡ θ 2 θ 1 2 + θ cos ⁡ θ sen ⁡ θ

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