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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.6 - Ex. 24

Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral.

∫ x 3 arcsin ⁡ x 2 d x

Passo 1

Pessoal, a integral deste exercício deve ser checada na Tabela de Integrais, nas Páginas de Referência. A partir delas conseguiremos resolver a integral dada. Vamos la:

∫ x 3 arcsin ⁡ x 2 d x

A integral 93 da Tabela é parecida com a do exercício. Vamos comparar:

∫ x 3 arcsin ⁡ x 2 d x → ∫ u n arcsin ⁡ u d u

É necessário fazer uma pequena alteração para se encaixar nesta integral. Vamos fazer uma substituição de variável para isto:

u = x 2

d u = 2 x d x

Substituindo temos:

∫ x 3 arcsin ⁡ x 2 d x → ∫ x 3 arcsin ⁡ u d u / 2 x → 1 2 ∫ u arcsin ⁡ u d u

Ao fazer a substituição, vemos que n = 1 . Pela tabela, existe uma integral especifica para quando isso acontece. Esta é a integral 90. Vamos então usá-la para resolver o exercício:

1 2 ∫ u arcsin ⁡ u d u = 1 2 2 u 2 - 1 4 arcsin ⁡ u + u 1 - u 2 4 + C

Agora vamos voltar com o valor de x u = x 2 :

1 2 2 u 2 - 1 4 arcsin ⁡ u + u 1 - u 2 4 + C = 1 2 2 x 4 - 1 4 arcsin ⁡ x 2 + x 2 1 - x 4 4 + C

= 1 8 ( 2 x 4 - 1 ) arcsin ⁡ x 2 + x 2 1 - x 4 + C

Que é a nossa resposta.

Resposta

= 1 8 ( 2 x 4 - 1 ) arcsin ⁡ x 2 + x 2 1 - x 4 + C

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