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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.4 - Ex. 23

Use o Exercício 22 para encontrar o centroide de um quarto de uma região circular de raio a .

Passo 1

A curva descrita consiste de uma parte de uma circunferência parametrizada como

r 1 t = a cos ⁡ t , a sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ π 2

r 1 ' t = ( - a sen ⁡ t , a cos ⁡ t )

E das retas que ligam o ponto ( 0 , a ) a origem e a origem ao ponto ( a , 0 ) , fechando a curva, podemos parametrizar essas retas como

r 2 t = 0 , a - a t ,   0 ≤ t ≤ 1

r 2 ' t = 0 , - a

r 3 t = a t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 1

r 3 ' t = a , 0

Passo 2

Então temos que C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 e encontramos o centroide por

x - = 1 2 A ∮ C x 2   d y = 1 2 A ∫ C 1 x 2   d y + ∫ C 2 x 2   d y + ∫ C 3 x 2   d y

Calculando a primeira integral

∫ C 1 x 2   d y = ∫ 0 π / 2 a 2 cos 2 ⁡ t d d t a sen ⁡ t d t

= ∫ 0 π / 2 a 2 cos 2 ⁡ t a cos ⁡ t d t = a 3 ∫ 0 π / 2 1 - sen 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

= a 3 sen ⁡ t - sen 3 ⁡ t 3 0 π / 2 = a 3 1 - 1 3

= 2 3 a 3

A segunda integral

∫ C 2 x 2   d y = ∫ 0 1 0   d y = 0

A terceira

∫ C 3 x 2   d y = ∫ 0 1 a t 3 d d t 0   d t = 0

Então temos

x - = 1 2 A 2 3 a 3 = a 3 3 A

Temos que a área é dada pela área da circunferência dividido por 4 , já que temos um quarto de circunferência, então

A = π a 2 4

Substituindo

x - = 4 a 3 3 π a 2 = 4 a 3 π

Passo 3

Agora em y

y - = - 1 2 A ∮ C y 2   d x = - 1 2 A ∫ C 1 y 2   d x + ∫ C 2 y 2   d x + ∫ C 3 y 2   d x

Calculando a primeira integral

∫ C 1 y 2   d x = ∫ 0 π / 2 a 2 s en 2 ⁡ t d d t a cos ⁡ t d t

= ∫ 0 π / 2 a 2 sen 2 ⁡ t ( - a sen ⁡ t ) d t = - a 3 ∫ 0 π / 2 ( 1 - cos 2 ⁡ t ) sen ⁡ t d t

= - a 3 cos 3 ⁡ t 3 - cos ⁡ t 0 π 2 = - a 3 - 1 3 + 1 = - 2 a 3 3

Assim como em x as outras integrais vão ser 0 , então temos

y - = - 1 2 A - 2 a 3 3 = a 3 3 A

Substituindo a área

y - = 4 a 3 π

Resposta

4 a 3 π , 4 a 3 π

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